§ 8. Исторические замечания

Первая часть приведенного выше доказательства теоремы выбора заимствована из статьи Хадвигера [8]. Доказательство Хадвигера относится к произвольной системе равномерно ограниченных замкнутых точечных множеств -мерного пространства.

Неравенство (2,1) в более узких предположениях доказывалось еще Гельдером [1]; поэтому в литературе его называют также неравенством Гельдера—Иенсена.

В обозначениях § 5 теоремы Доукера означают, что последовательности выпуклы. Является выпуклой для каждой выпуклой фигуры Е также и последовательность а также дальнейшие шесть последовательностей которые получаются, если привлечь к рассмотрению линейное расстояние и расстояние по периметру на эти вопросы мы пока еще не имеем ответа

Приведенное в книге доказательство неравенства (4,1) исходит от Саса заключительное же доказательство единственности с помощью рядов Фурье принадлежит автору. Для случая соответствующее экстремальное свойство эллипса было доказано с помощью так называемой штейнеровской симметризации еще Бляшке [3].

Бляшке показал одновременно, что среди равновеликих выпуклых тел эллипсоид хуже всего заполняется вписанным тетраэдром. Автор заметил [33], что из доказательства Бляшке одновременно вытекает следующая теорема: в произвольное выпуклое тело всегда можно вписать многогранник с произвольно заданным числом вершин не меньшего объема, чем в равновеликий этому телу эллипсоид. Однако вопрос об единственности для случая произвольного числа вершин пока еще остается открытым. Сформулированную только что теорему можно перенести и на случай -мерного пространства; это было сделано Макбетом [1], который не знал результатов Бляшке. Экстремальное свойство параллелограмма, упомянутое в связи с идет от Гросса [ 1 ].

В статье [4] автора имеется аналогичное (4,3) неравенство , где Т означает произвольную выпуклую фигуру. Хотя в доказательстве была обнаружена ошибка, однако этот результат, по-видимому, является верным.

Используя работу автора [1], в которой доказывались неравенство (4,4) и для неравенство (4,5), рано умерший математик Лазар [1] доказал неравенство (4,5) для произвольного .

В связи с § 4 упомянем еще ряд проблем: для какой выпуклой сферической фигуры Е расстояния по площади достигают наибольшей возможной величины? При этом выпуклая сферическая фигура определяется тем, что она должна содержать кратчайшую дугу большой окружности, соединяющую любые две ее точки. При этом интересно, что относительно Е нельзя сделать никакого предположения кроме выпуклости, так как рассматр ваемые расстояния становятся малыми как для маленьких, так и для больших фигур. Предположительно каждую выпуклую сферическую фигуру можно, например, заключить между вписанным треугольником 8 и описанным треугольником так, что Другие задачи возникают, если вместо расстояния по площади рассматривать другие расстояния.

Приведенная выше трактовка понятия аффинной длины содержится в работе [37] автора.