§ 11. Одна задача о заполнении выпуклыми фигурами, связанная с понятием аффинной длины

Рассмотрим достаточно большое (но фиксированное!) число произвольных выпуклых фигур, заполняющих заданную область. Как должны быть выбраны и расположены фигуры, чтобы общий аффинный периметр всех фигур был возможно большим? Этот вопрос решается следующей теоремой:

Если выпуклый шестиугольник S заполнен выпуклыми фигурами общего аффинного периметра А, то

Равенство здесь достигается только для аффинно правильного шестиугольника, внутри которого расположен единственный вписанный аффинно правильный шестисторонник, составленный из дуг парабол. Однако частное может быть сделано сколь угодно близким к если S заполнен весьма большим числом маленьких, равных между собой, аффинно правильных шестисторонников из дуг парабол, причем эти шестисторонники расположены плотнейшим образом.

Если рассмотреть произвольную бесконечную систему непересекающихся выпуклых фигур и обозначить через А среднее число фигур и через — их средний аффинный периметр, то из сформулированной выше теоремы вытекает, что [83]

Замечательна общность этой последней оценки: ни от формы, ни от расположения фигур здесь не приходится требовать выполнения каких-либо условий регулярности. Равенство фигур, а также правильность их формы и расположения суть непосредственные следствия единственного экстремального требования, заключающегося в том, что средний аффинный периметр фигур (при заданном значении их среднего числа) должен быть возможно большим.

Выше мы уже имели один аналогичный результат, выраженный неравенством (7,5). Это неравенство означает, что общий периметр кругов, заполняющих рассматриваемую в § 7 область, не превосходит .

Поучительно сравнить результаты, к которым приводят неравенства (1) и (7,5) для счучая равных кругов. Неравенство (7,5) дает в этом случае точную оценку для плотности D расположения кругов в , а именно Напротив, из неравенства (1) следует, что Однако последняя постоянная весьма незначительно превосходит меньше чем на 0,6%. То, что неравенство (1) дает хорошую, хотя и не наилучшую оценку для плотности расположения в задаче о плотнейшем расположении кругов, можно было ожидать с самого начала, так как правильный шестисторонник из дуг парабол почти не отличается от круга (рис. 83).

Для доказательства неравенства (1) заключим лежащие в фигуры выпуклые многоугольники таким же способом, как мы поступали при доказательстве неравенства

Рис. 83.

Согласно (II, 6,1) будем иметь:

где - аффинный периметр число сторон многоугольника

Покажем теперь, что функция

вогнутая. Более обще: если при есть положительная вогнутая функция — два числа таких, что то функция

вогнутая. Действительно, в этом случае

что и доказывает вогнутость.

Следовательно, согласно неравенству Иенсена в силу монотонности по обоим переменным имеем:

Но это и есть неравенство (1). Случай, когда здесь достигается неравенство, является очевидным.