Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 11. Одна задача о заполнении выпуклыми фигурами, связанная с понятием аффинной длиныРассмотрим достаточно большое (но фиксированное!) число произвольных выпуклых фигур, заполняющих заданную область. Как должны быть выбраны и расположены фигуры, чтобы общий аффинный периметр всех фигур был возможно большим? Этот вопрос решается следующей теоремой: Если выпуклый шестиугольник S заполнен
Равенство здесь достигается только для аффинно правильного шестиугольника, внутри которого расположен единственный вписанный аффинно правильный шестисторонник, составленный из дуг парабол. Однако частное может быть сделано сколь угодно близким к Если рассмотреть произвольную бесконечную систему непересекающихся выпуклых фигур и обозначить через А среднее число фигур и через
Замечательна общность этой последней оценки: ни от формы, ни от расположения фигур здесь не приходится требовать выполнения каких-либо условий регулярности. Равенство фигур, а также правильность их формы и расположения суть непосредственные следствия единственного экстремального требования, заключающегося в том, что средний аффинный периметр фигур (при заданном значении их среднего числа) должен быть возможно большим. Выше мы уже имели один аналогичный результат, выраженный неравенством (7,5). Это неравенство означает, что общий периметр кругов, заполняющих рассматриваемую в § 7 область, не превосходит Поучительно сравнить результаты, к которым приводят неравенства (1) и (7,5) для счучая равных кругов. Неравенство (7,5) дает в этом случае точную оценку для плотности D расположения кругов в Для доказательства неравенства (1) заключим лежащие в
Рис. 83. Согласно (II, 6,1) будем иметь:
где Покажем теперь, что функция
вогнутая. Более обще: если
вогнутая. Действительно, в этом случае
что и доказывает вогнутость. Следовательно, согласно неравенству Иенсена в силу монотонности
Но это и есть неравенство (1). Случай, когда здесь достигается неравенство, является очевидным.
|
1 |
Оглавление
|