Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 12. Приближение выпуклой поверхности многогранникамиВ этом параграфе мы не будем настаивать на полной строгости всех рассуждений. Рассмотрим гладкую выпуклую поверхность F и пусть Очевидно, что Точнее: порядок величины
зависящему только от поверхности F. Назовем А степенью приближения F вписанным многогранником. Для единичной сферы это число А равно Следует отметить, что к этому же числу А можно прийти, если рассматривать вместо вписанного многогранника описанный или вместо многогранника с Совершенно аналогично можно определить степень приближения многогранной поверхностью куска поверхности, состоящей лишь из эллиптических точек. Мы утверждаем, что степень приближения А вписанной многогранной поверхностью куска F поверхности, все точки которого являются эллиптическими, можно представить поверхностным интегралом от квадратного корня из гауссовой кривизны К:
Отсюда следует, что степень приближения инвариантна относительно так называемых изгибаний поверхности. Изгибанием называется такое отображение одной поверхности на другую, при котором сохраняется неизменной длина дуги кривой, проведенной на поверхности. Инвариантность А является непосредственным следствием знаменитой гауссовской «theorema egregium», выражающей инвариантность К относительно изгибаний поверхности Далее, в силу неравенства Шварца,
где В частности, среди всех выпуклых поверхностей заданной площади Чтобы пояснить формулу (1), мы ограничимся замкнутой выпуклой поверхностью F и рассмотрим малый треугольник В первом приближении
где точками обозначены члены, которыми можно пренебречь по сравнению с выписанным членом порядка
Поэтому, если обозначить грани
получаем:
Поэтому для произвольной последовательности вписанных многогранников
Наши рассужденля одновременно доказывают, что стоящая справа оценка может быть достигнута при помощи подходящей последовательности многогранников. Для построения такой последовательности достаточно указать, как прийти к такому многограннику
Для этого пересечем F плоскостью, параллельной касательной плоскости и удаленной от нее на расстояние
и впишем в полученное сечение треугольник Л наибольшей возможной площади. Этот треугольник Д проектируем с помощью нормалей поверхности F на саму эту поверхность и замостим F в окрестности полученного треугольника У примерно такими же треугольниками
а число граней, в силу [148]
имеет порядок Для поверхностей, состоящих из гипербошческих точек, формула (1), разумеется, теряет силу. В этом случае не сохраняется даже введенное выше понятие степени приближения. Пусть, например, Т есть часть гиперболоида вращения (однополостного), ограниченная двумя равными окружностями А и В. Впишем в А и В правильные Расстояние Стоит отметить, что из формулы (1) можно вывести точную оценку
для числа N единичных кругов, которые могут покрывать, скажем, квадрат Q. В случае шара формула (1) эквивалентна той, в которую переходит при Положим теперь в основу наших рассмотрений не линейное расстояние, а расстояние по объему, определяемое аналогично введенному в § 1 гл. II расстоянию по площади между плоскими выпуклыми фигурами. Возникающие при этом апроксимационные задачи весьма тесно связаны с понятием аффинной площади поверхности. Аффинную площадь Q выпуклой поверхности можно наглядно представить себе следующим образом. Разобьем F на малые элементы и примем каждую такую элементарную часть поверхности за часть поверхности единичного эллипсоида. Говоря точнее, мы заменим каждый элемент поверхности равновеликой по площади частью поверхности единичного эллипсоида, имеющего с F соприкосновение второго порядка. Если отобразить теперь все эти элементы поверхности единичных эллипсоидов с помощью эквиаффинного преобразования на часть Т единичной сферы, то Q можно будет представлять себе как величину поверхности Т (в обычном смысле), причем части Т, покрытые несколько раз, естественно, надо будет столько же раз и учитывать. Это толкование позволяет свести степень приближения выпуклой поверхности относительно расстояния по объему к степени приближения единичной сферы, соответственно к приближению посредством аффинной площади поверхности. Мы можем ограничиться поверхностью, составленной из большого, но конечного числа m частей единичного эллипсоида, так как F можно апроксимировать такой поверхностью с точностью более высокого порядка, чем многогранником с m вершинами или гранями. С точки зрения приближения по объему часть поверхности единичного эллипсоида эквивалентна части поверхности Т единичной сферы. Степень приближения Т, однако, легко вычислить, исходя из степени приближения всей единичной сферы. Для этого достаточно заметить, что вершины вписанного в единичный шар многогранника Пусть В таком случае
В силу формулы
которые указывают, что среди равновеликих выпуклых тел эллипсоид хуже всего приближается многогранниками. Далее, вершины В заключение мы хотим обратить внимание на одну нерешенную еще задачу. Пусть К выпуклая оболочка плоской выпуклой фигуры Е и точки, лежащей вне плоскости фигуры Е, F — заключенный внутри конуса К кусок выпуклой поверхности, имеющий общую границу с Е и Упомянутая за тача состоит в том, чтобы дать зависимую только от объемов К и С помощью симметризации Штейнера
|
1 |
Оглавление
|