Главная > Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 12. Приближение выпуклой поверхности многогранниками

В этом параграфе мы не будем настаивать на полной строгости всех рассуждений.

Рассмотрим гладкую выпуклую поверхность F и пусть есть выпуклая оболочка точек поверхности F. Мы будем исходить из того расположения точек, при котором расстояние достигает своего минимума; другими словами, мы будем рассматривать вписанный многогранник с данным числом вершин, который лучше всего апроксимирует поверхность F. Так, например, если F есть сфера, то как мы видели выше, представляет собой вписанный правильный икосаэдр.

Очевидно, что с ростом стремится к нулю.

Точнее: порядок величины есть , так что величина стремится к предельному значению

зависящему только от поверхности F.

Назовем А степенью приближения F вписанным многогранником. Для единичной сферы это число А равно

Следует отметить, что к этому же числу А можно прийти, если рассматривать вместо вписанного многогранника описанный или вместо многогранника с вершинами многогранник с гранями. Для произвольного многогранника, т. е. такого, от которого не требуется ни чтобы он был вписанным, ни чтобы он был описанным, мера степени приближения равна .

Совершенно аналогично можно определить степень приближения многогранной поверхностью куска поверхности, состоящей лишь из эллиптических точек.

Мы утверждаем, что степень приближения А вписанной многогранной поверхностью куска F поверхности, все точки которого являются эллиптическими, можно представить поверхностным интегралом от квадратного корня из гауссовой кривизны К:

Отсюда следует, что степень приближения инвариантна относительно так называемых изгибаний поверхности. Изгибанием называется такое отображение одной поверхности на другую, при котором сохраняется неизменной длина дуги кривой, проведенной на поверхности. Инвариантность А является непосредственным следствием знаменитой гауссовской «theorema egregium», выражающей инвариантность К относительно изгибаний поверхности .

Далее, в силу неравенства Шварца,

где — полная кривизна поверхности. При этом равенство здесь достигается только для поверхностей постоянной гауссовой кривизны, т. е. для поверхностей, которые можно изогнуть в часть поверхности шара радиуса

В частности, среди всех выпуклых поверхностей заданной площади хуже всего приближается многогранниками.

Чтобы пояснить формулу (1), мы ограничимся замкнутой выпуклой поверхностью F и рассмотрим малый треугольник , вершины которого лежат на F, Обозначим близкий к кусок поверхности F, нормали во всех точках которого пересекают , через и будем так изменять в малой окрестности точки Р поверхности, чтобы при заданном расстоянии площадь Д была возможно большей. Сдвинем касательную плоскость поверхности в точке Р параллельно самой себе внутрь поверхности на расстояние и рассмотрим высекаемую этой плоскостью индикатрису Дюпена поверхности F [146]. Искомое наиболее благоприятное положение треугольника Д задается вписанным в треугольником наибольшей площади.

В первом приближении можно принять за эллипс с полуосями и 2 — радиусы главных кривизн в точке Р. Следовательно,

где точками обозначены члены, которыми можно пренебречь по сравнению с выписанным членом порядка Отсюда вытекает, что

Поэтому, если обозначить грани через , а соответствующие «треугольники» поверхности через и гауссовы кривизны F в каких-либо точках этих треугольников — через то, учитывая, что

получаем:

Поэтому для произвольной последовательности вписанных многогранников будем иметь:

Наши рассужденля одновременно доказывают, что стоящая справа оценка может быть достигнута при помощи подходящей последовательности многогранников. Для построения такой последовательности достаточно указать, как прийти к такому многограннику что

Для этого пересечем F плоскостью, параллельной касательной плоскости и удаленной от нее на расстояние

и впишем в полученное сечение треугольник Л наибольшей возможной площади. Этот треугольник Д проектируем с помощью нормалей поверхности F на саму эту поверхность и замостим F в окрестности полученного треугольника У примерно такими же треугольниками . Эту окрестность можно выбрать так, что внутри нее кривизна К поверхности существенно не изменяется. Затем предположим, что далее замощение продолжается, исходя из другого треугольника А, и так до окончательного замощения всей поверхности. Вершины треугольников определяют вписанный многогранник, расстояние которого от поверхности примерно равно

а число граней, в силу [148]

имеет порядок Следовательно, число вершин нашего многогранника асимптотически равно

Для поверхностей, состоящих из гипербошческих точек, формула (1), разумеется, теряет силу. В этом случае не сохраняется даже введенное выше понятие степени приближения. Пусть, например, Т есть часть гиперболоида вращения (однополостного), ограниченная двумя равными окружностями А и В. Впишем в А и В правильные -угольники так, чтобы прямые АВ лежали на гиперболоиде Пусть есть многогранная поверхность с гранями

Расстояние совпадает с расстоянием -угольника от круга А; следовательно, оно имеет величину порядка 2, а не

Стоит отметить, что из формулы (1) можно вывести точную оценку

для числа N единичных кругов, которые могут покрывать, скажем, квадрат Q. В случае шара формула (1) эквивалентна той, в которую переходит при формула (2,3). Отсюда следует (111,2,2) и в силу сделанного в § 4 гл. III замечания, относящегося к замощающим областям, также и указанная выше оценка.

Положим теперь в основу наших рассмотрений не линейное расстояние, а расстояние по объему, определяемое аналогично введенному в § 1 гл. II расстоянию по площади между плоскими выпуклыми фигурами. Возникающие при этом апроксимационные задачи весьма тесно связаны с понятием аффинной площади поверхности.

Аффинную площадь Q выпуклой поверхности можно наглядно представить себе следующим образом. Разобьем F на малые элементы и примем каждую такую элементарную часть поверхности за часть поверхности единичного эллипсоида.

Говоря точнее, мы заменим каждый элемент поверхности равновеликой по площади частью поверхности единичного эллипсоида, имеющего с F соприкосновение второго порядка. Если отобразить теперь все эти элементы поверхности единичных эллипсоидов с помощью эквиаффинного преобразования на часть Т единичной сферы, то Q можно будет представлять себе как величину поверхности Т (в обычном смысле), причем части Т, покрытые несколько раз, естественно, надо будет столько же раз и учитывать.

Это толкование позволяет свести степень приближения выпуклой поверхности относительно расстояния по объему к степени приближения единичной сферы, соответственно к приближению посредством аффинной площади поверхности. Мы можем ограничиться поверхностью, составленной из большого, но конечного числа m частей единичного эллипсоида, так как F можно апроксимировать такой поверхностью с точностью более высокого порядка, чем многогранником с m вершинами или гранями. С точки зрения приближения по объему часть поверхности единичного эллипсоида эквивалентна части поверхности Т единичной сферы. Степень приближения Т, однако, легко вычислить, исходя из степени приближения всей единичной сферы. Для этого достаточно заметить, что вершины вписанного в единичный шар многогранника имеет вершин) наибольшего возможного объема при больших значениях распределены по поверхности сферы так, что число вершин, попадающих на Следовательно, можно так приблизить Т вписанной многогранной поверхностью Р, с v вершинами, что объем части пространства, заключенной между и Т, будет примерно равен или учитывая (5,2), примерно рассуждения приводят к следующей теореме:

Пусть - выпуклое тело, аффинная площадь поверхности которого равна — описанный -гранник наименьшего возможного объема и — вписанный многогранник с вершинами наибольшего объема.

В таком случае

В силу формулы с помощью которой обыкновенно вводят аффинную площадь поверхности [149], равенства (2) совершенно аналогичны (1). Если скомбинировать эти равенства с указанным Бляшке [3] «изопериметрическим неравенством» в котором равенство достигается только для эллипсоида, то можно получить точные оценки:

которые указывают, что среди равновеликих выпуклых тел эллипсоид хуже всего приближается многогранниками.

Далее, вершины же как и центры тяжестей граней для больших значений так распределены по поверхности, что на равные по величине аффинной площади части ограничивающей V выпуклой поверхности падают примерно одинаковые числа вершин (или центров тяжести граней). В плоскости асимптотическое распределение вершин однозначно определяется аналогичным свойством. В пространстве же к вышеупомянутому свойству распределения вершин присоединяется еще следующее любопытное свойство: вершины, лежащие на небольшой части поверхности, приближенно образуют плоскую точечную решетку, которая преобразуется в решетку равносторонних треугольников с помощью того аффинного преобразования, которое переводит в окружность индикатрису Дюпена, отвечающую рассматриваемой точке поверхности.

В заключение мы хотим обратить внимание на одну нерешенную еще задачу. Пусть К выпуклая оболочка плоской выпуклой фигуры Е и точки, лежащей вне плоскости фигуры Е, F — заключенный внутри конуса К кусок выпуклой поверхности, имеющий общую границу с Е и выпуклая оболочка F.

Упомянутая за тача состоит в том, чтобы дать зависимую только от объемов К и оценку сверху для аффинной площади поверхности F. Таким образом, позволяется так изменять и К, чтобы объемы и К оставались постоянными; требуется отыскать такую пару тел S, К, для которых аффинная площадь поверхности F была бы максимальна.

С помощью симметризации Штейнера можно показать, что достаточно рассмотреть только те тела, которые можно аффинным преобразованием перевести в тела вращения. Весьма вероятно, что экстремальная поверхность F есть алгебраическая поверхность второго порядка.

1
Оглавление
email@scask.ru