§ 12. Приближение выпуклой поверхности многогранниками

В этом параграфе мы не будем настаивать на полной строгости всех рассуждений.

Рассмотрим гладкую выпуклую поверхность F и пусть есть выпуклая оболочка точек поверхности F. Мы будем исходить из того расположения точек, при котором расстояние достигает своего минимума; другими словами, мы будем рассматривать вписанный многогранник с данным числом вершин, который лучше всего апроксимирует поверхность F. Так, например, если F есть сфера, то как мы видели выше, представляет собой вписанный правильный икосаэдр.

Очевидно, что с ростом стремится к нулю.

Точнее: порядок величины есть , так что величина стремится к предельному значению

зависящему только от поверхности F.

Назовем А степенью приближения F вписанным многогранником. Для единичной сферы это число А равно

Следует отметить, что к этому же числу А можно прийти, если рассматривать вместо вписанного многогранника описанный или вместо многогранника с вершинами многогранник с гранями. Для произвольного многогранника, т. е. такого, от которого не требуется ни чтобы он был вписанным, ни чтобы он был описанным, мера степени приближения равна .

Совершенно аналогично можно определить степень приближения многогранной поверхностью куска поверхности, состоящей лишь из эллиптических точек.

Мы утверждаем, что степень приближения А вписанной многогранной поверхностью куска F поверхности, все точки которого являются эллиптическими, можно представить поверхностным интегралом от квадратного корня из гауссовой кривизны К:

Отсюда следует, что степень приближения инвариантна относительно так называемых изгибаний поверхности. Изгибанием называется такое отображение одной поверхности на другую, при котором сохраняется неизменной длина дуги кривой, проведенной на поверхности. Инвариантность А является непосредственным следствием знаменитой гауссовской «theorema egregium», выражающей инвариантность К относительно изгибаний поверхности .

Далее, в силу неравенства Шварца,

где — полная кривизна поверхности. При этом равенство здесь достигается только для поверхностей постоянной гауссовой кривизны, т. е. для поверхностей, которые можно изогнуть в часть поверхности шара радиуса

В частности, среди всех выпуклых поверхностей заданной площади хуже всего приближается многогранниками.

Чтобы пояснить формулу (1), мы ограничимся замкнутой выпуклой поверхностью F и рассмотрим малый треугольник , вершины которого лежат на F, Обозначим близкий к кусок поверхности F, нормали во всех точках которого пересекают , через и будем так изменять в малой окрестности точки Р поверхности, чтобы при заданном расстоянии площадь Д была возможно большей. Сдвинем касательную плоскость поверхности в точке Р параллельно самой себе внутрь поверхности на расстояние и рассмотрим высекаемую этой плоскостью индикатрису Дюпена поверхности F [146]. Искомое наиболее благоприятное положение треугольника Д задается вписанным в треугольником наибольшей площади.

В первом приближении можно принять за эллипс с полуосями и 2 — радиусы главных кривизн в точке Р. Следовательно,

где точками обозначены члены, которыми можно пренебречь по сравнению с выписанным членом порядка Отсюда вытекает, что

Поэтому, если обозначить грани через , а соответствующие «треугольники» поверхности через и гауссовы кривизны F в каких-либо точках этих треугольников — через то, учитывая, что

получаем:

Поэтому для произвольной последовательности вписанных многогранников будем иметь:

Наши рассужденля одновременно доказывают, что стоящая справа оценка может быть достигнута при помощи подходящей последовательности многогранников. Для построения такой последовательности достаточно указать, как прийти к такому многограннику что

Для этого пересечем F плоскостью, параллельной касательной плоскости и удаленной от нее на расстояние

и впишем в полученное сечение треугольник Л наибольшей возможной площади. Этот треугольник Д проектируем с помощью нормалей поверхности F на саму эту поверхность и замостим F в окрестности полученного треугольника У примерно такими же треугольниками . Эту окрестность можно выбрать так, что внутри нее кривизна К поверхности существенно не изменяется. Затем предположим, что далее замощение продолжается, исходя из другого треугольника А, и так до окончательного замощения всей поверхности. Вершины треугольников определяют вписанный многогранник, расстояние которого от поверхности примерно равно

а число граней, в силу [148]

имеет порядок Следовательно, число вершин нашего многогранника асимптотически равно

Для поверхностей, состоящих из гипербошческих точек, формула (1), разумеется, теряет силу. В этом случае не сохраняется даже введенное выше понятие степени приближения. Пусть, например, Т есть часть гиперболоида вращения (однополостного), ограниченная двумя равными окружностями А и В. Впишем в А и В правильные -угольники так, чтобы прямые АВ лежали на гиперболоиде Пусть есть многогранная поверхность с гранями

Расстояние совпадает с расстоянием -угольника от круга А; следовательно, оно имеет величину порядка 2, а не

Стоит отметить, что из формулы (1) можно вывести точную оценку

для числа N единичных кругов, которые могут покрывать, скажем, квадрат Q. В случае шара формула (1) эквивалентна той, в которую переходит при формула (2,3). Отсюда следует (111,2,2) и в силу сделанного в § 4 гл. III замечания, относящегося к замощающим областям, также и указанная выше оценка.

Положим теперь в основу наших рассмотрений не линейное расстояние, а расстояние по объему, определяемое аналогично введенному в § 1 гл. II расстоянию по площади между плоскими выпуклыми фигурами. Возникающие при этом апроксимационные задачи весьма тесно связаны с понятием аффинной площади поверхности.

Аффинную площадь Q выпуклой поверхности можно наглядно представить себе следующим образом. Разобьем F на малые элементы и примем каждую такую элементарную часть поверхности за часть поверхности единичного эллипсоида.

Говоря точнее, мы заменим каждый элемент поверхности равновеликой по площади частью поверхности единичного эллипсоида, имеющего с F соприкосновение второго порядка. Если отобразить теперь все эти элементы поверхности единичных эллипсоидов с помощью эквиаффинного преобразования на часть Т единичной сферы, то Q можно будет представлять себе как величину поверхности Т (в обычном смысле), причем части Т, покрытые несколько раз, естественно, надо будет столько же раз и учитывать.

Это толкование позволяет свести степень приближения выпуклой поверхности относительно расстояния по объему к степени приближения единичной сферы, соответственно к приближению посредством аффинной площади поверхности. Мы можем ограничиться поверхностью, составленной из большого, но конечного числа m частей единичного эллипсоида, так как F можно апроксимировать такой поверхностью с точностью более высокого порядка, чем многогранником с m вершинами или гранями. С точки зрения приближения по объему часть поверхности единичного эллипсоида эквивалентна части поверхности Т единичной сферы. Степень приближения Т, однако, легко вычислить, исходя из степени приближения всей единичной сферы. Для этого достаточно заметить, что вершины вписанного в единичный шар многогранника имеет вершин) наибольшего возможного объема при больших значениях распределены по поверхности сферы так, что число вершин, попадающих на Следовательно, можно так приблизить Т вписанной многогранной поверхностью Р, с v вершинами, что объем части пространства, заключенной между и Т, будет примерно равен или учитывая (5,2), примерно рассуждения приводят к следующей теореме:

Пусть - выпуклое тело, аффинная площадь поверхности которого равна — описанный -гранник наименьшего возможного объема и — вписанный многогранник с вершинами наибольшего объема.

В таком случае

В силу формулы с помощью которой обыкновенно вводят аффинную площадь поверхности [149], равенства (2) совершенно аналогичны (1). Если скомбинировать эти равенства с указанным Бляшке [3] «изопериметрическим неравенством» в котором равенство достигается только для эллипсоида, то можно получить точные оценки:

которые указывают, что среди равновеликих выпуклых тел эллипсоид хуже всего приближается многогранниками.

Далее, вершины же как и центры тяжестей граней для больших значений так распределены по поверхности, что на равные по величине аффинной площади части ограничивающей V выпуклой поверхности падают примерно одинаковые числа вершин (или центров тяжести граней). В плоскости асимптотическое распределение вершин однозначно определяется аналогичным свойством. В пространстве же к вышеупомянутому свойству распределения вершин присоединяется еще следующее любопытное свойство: вершины, лежащие на небольшой части поверхности, приближенно образуют плоскую точечную решетку, которая преобразуется в решетку равносторонних треугольников с помощью того аффинного преобразования, которое переводит в окружность индикатрису Дюпена, отвечающую рассматриваемой точке поверхности.

В заключение мы хотим обратить внимание на одну нерешенную еще задачу. Пусть К выпуклая оболочка плоской выпуклой фигуры Е и точки, лежащей вне плоскости фигуры Е, F — заключенный внутри конуса К кусок выпуклой поверхности, имеющий общую границу с Е и выпуклая оболочка F.

Упомянутая за тача состоит в том, чтобы дать зависимую только от объемов К и оценку сверху для аффинной площади поверхности F. Таким образом, позволяется так изменять и К, чтобы объемы и К оставались постоянными; требуется отыскать такую пару тел S, К, для которых аффинная площадь поверхности F была бы максимальна.

С помощью симметризации Штейнера можно показать, что достаточно рассмотреть только те тела, которые можно аффинным преобразованием перевести в тела вращения. Весьма вероятно, что экстремальная поверхность F есть алгебраическая поверхность второго порядка.