Главная > Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 11. Редчайшая насыщенная система сферических кругов

В § 2 гл. III мы рассматривали редчайшую насыщенную систему равных кругов на плоскости. Мы видели, что задача о нахождении такой системы эквивалентна задаче о редчайшем покрытии плоскости равными кругами. В самом деле, приведенная там опенка (111,2,5) получается простым преобразованием неравенства (111,2,1). Напротив, в сферической геометрии аналогичные рассмотрения содержат один новый момент. А именно, в то время как в задаче о покрытии сферы равными (сферическими) кругами для случая двух кругов можно отметить лишь, что плотность покрытия не меньше 1 (что, разумеется, тривиально), понятие насыщенной системы кругов именно в случае двух кругов представляет особый интерес. Здесь имеет место следующая теорема:

Плотность произвольной насыщенной системы равных кругов

где равенство достигается только для двух диаметрально противоположных кругов (сферического) радиуса Другими словами, насыщенная система равных кругов может оставить свободной не больше чем поверхности сферы.

Так как неравенство (1) для числа и 2 сферических кругов является тривиальным, то мы можем ограничиться случаем Если удвоим сферический радиус (сферического) круга, то мы придем к системе кругов, покрывающих сферу. Согласно (1.2) имеем

Итак, плотность первоначальной насыщенной системы

Легко, однако, показать, последовательность монотонно уменьшаясь, стремится к пределу так что для

Заметим, что неравенство (2) дает точную границу для величины d и при , а если уговориться считать, что то также и при На рис. 102 изображены даваемые неравенством (2) нижние границы плотности d системы сферических кругов; черные точки на этом чертеже отвечают точным границам.

Наша теорема выражает лубокое экстремальное свойство рассматриваемой пары диаметрально противоположных сферических кругов, являющейся экстремальной конфигурацией для поставленной задачи (причем столь простой конфигурацией!).

Интерес теоремы еще увеличивается тем, что постоянная только немного больше чем

Из неравенства (1,1) и вышеприведенных рассуждений выводится следующая теорема:

Пусть задана насыщенная система кругов радиуса . Тогда число N кругов радиуса , которые могут быть помещены на сфере без перекрытий, таково, что

Равенство здесь может достигаться только при , хотя отношение — для достаточно малых значений может быть сделано как угодно близким к 3.

Рис. 102.

Для доказательства заметим, что при плотность насыщенной системы . Следовательно, плотность системы из или более таких же кругов больше .

Круги этой системы должны поэтому, согласно (1,1), пересекаться; таким образом, предположение, что оказывается невозможным. При имеем Следовательно, плотность системы равных сферических кругов, таких же как и круги рассматриваемой насыщенной системы, не меньше чем . Однако, в силу (1,1), величина как раз равна тому значению, которого может достигать плотность шести непересекающихся (сферических) кругов. Итак, во всех случаях имеет место неравенство (3); при этом при отношение — не может достигать предельного значения 3 (то, что при возможно соотношение легко проверить непосредственно).

1
Оглавление
email@scask.ru