§ 5. Разбиение выпуклой области на выпуклые подобласти

Здесь мы дадим второе доказательство неравенству (4,1), которое стоит ближе, чем первое доказательство, к только что рассмотренному доказательству неравенства (4,2). При этом неравенство (4,1) будет получено как следствие следующей общей теоремы:

Если разбить выпуклую область выпуклых подобластей с периметрами , то

Так как никакая подобласть не может быть кругом, то в силу изопериметрического неравенства для каждой из этих областей и для одной отдельно взятой фигуры мы не можем утверждать ничего больше.

Напротив, для ряда выпуклых фигур, составляющих одну большую выпуклую область, можно утверждать, что среднее значение этого отношения всегда больше, чем величина подобного же отношения для правильного шестиугольника; это утверждение и составляет содержание неравенства (1).

Для доказательства удобно считать, что граница R разбиваемой области Т не имеет вершин; это ограничение не является существенным. Примем, как и выше, области за грани многогранника Р, относительно которого мы будем полагать, что все его углы трехгранные. Согласно неравенству Люилье (1, 4, 4) имеем [66]:

где - внешние углы при вершинах области и

есть так называемая полная кривизна криволинейных сторон равная нулю, если все стороны прямолинейны. Очевидно, что

Просуммируем выписанные выше неравенства, отвечающие всем возможным значениям i и соберем величины отвечающие отдельным вершинам Р. Если - два угла, которые сходятся в одной вершине, лежащей на R, то и, следовательно,

если три угла, сходящиеся в одной вершине, лежащей внутри Т, то следовательно,

Обозначим число вершин Р, лежащих на R, через ; тогда число остальных вершин есть и мы имеем:

В силу отсюда вытекает

что нам и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь единичных кругов, заполняющих выпуклую область Т. Разложим, как выше, Т на выпуклых подобластей периметров так, чтобы каждая область содержала единственный круг; тогда, очевидно, Поэтому из (1) вытекает следующее неравенство, эквивалентное (4,1);