ПРИЛОЖЕНИЕ II. НЕСКОЛЬКО ОПРЕДЕЛЕНИЙ РАЗМЕРНОСТИ

Пусть мы имеем некоторую ограниченную область В -мерного (в частном случае — обыкновенного трехмерного) евклидова пространства, которая, быть может, представляет собой кусок по верхности или линии. Что следует понимать под размерностью В? Другими словами, в чем принципиальное различие между (двумерным) квадратом и (трехмерным) кубом, между (двумерной) поверхностью и (одномерной) кривой? Этот вопрос (трактуемый в современной топологии несравненно шире, чем в настоящем приложении) стал перед математиками в конце прошлого века, когда в результате построения теории множеств выяснилось, что нельзя считать куб «более богатым точками», чем квадрат. Решение этого вопроса в ряде пунктов соприкасается с темой настоящей книги.

Одно из простейших определений размерности непосредственно апеллирует к понятиям о плотнейшем заполнении или о редчайшем покрытии области В, скажем, с шарами» определенного радиуса (под шаром радиуса здесь понимается совокупность точек области , расстояние которых от некоторой точки Р этой области — центра шара — не превосходит ). Предположим для начала, что В есть единичный квадрат или куб. Вспомним, что плотности плотнейшего заполнения квадрата и куба равными «шарами» (т. е. в случае квадрата — равными кругами) конечны; поэтому число «шаров» малого радиуса , участвующих в плотнейшем заполнении В, будет для квадрата близко к (где постоянная ) равна , а для (здесь ) по-видимому, равно Аналогично этому конечна и плотность заполнения равными «шарами» единичного -мерного куба (где произвольное целое положительное число (ср. приложение 1));

соответственно этому количество «шаров» малого радиуса , участвующих в плотнейшем заполнении куба, близко к (где постоянная равна отношению плотности заполнения к объему единичного шара -мерного пространства; впрочем, численное значение этой постоянной здесь для нас совершенно не существенно). Отсюда вытекает, что если В есть единичный куб какого-то числа измерений, то размерность В можно определить как предел

здесь есть число «шаров» радиуса , участвующих в плотнейшем заполнении В. Таким же образом может быть определена размерность любой области В.

Можно также заменить в определении (1) число числом «шаров» радиуса , участвующих в редчайшем покрытии В; так для -мерного куба В число будет в силу конечности плотности редчайшего покрытия В. Разумеется, вместо числа здесь можно также взять число шаров диаметра т. е. радиуса участвующих в редчайшем покрытии В; так, для -мерного куба В число v будет в силу конечности плотности покрытия всего лишь примерно в раза больше и поэтому

Можно так же, как заметили в 1932 г. Л. С. Понтрягин и Л. Г. Шнирельман [1], заменить в определении (1) размерности число наименьшим числом произвольных множеств, диаметры которых не превосходят и которыми можно покрыть В (диаметром произвольного множества называется наибольшее из расстояний между его точками). Заметим еще, что можно также определить как наибольшее возможное число точек В, расстояние между каждыми двумя из которых не меньше (в (1) можно заменить и на наибольшее число точек , расстояние между каждыми двумя из которых не превосходит — как наименьшее число таких точек В, что каждая точка В удалена хоть от одной из этих точек не больше чем на (совокупность таких точек составляет -сеть области В).

Все эти определения размерности имеют своим исходным пунктом работу Л. С. Понтрягина и Л. Г. Шнирельмана [1] (см., впрочем, и более позднюю работу А. Н. Колмогорова [1]). Исторически же первое определение размерности, принадлежащее А. Лебегу [1] и Л. Брауэру [1], исходит из других идей. Рассмотрим покрытие какой-либо области В (скажем, квадрата) произвольными замкнутыми множествами; наибольшее число k этих множеств, сходящихся в одной точке, назовем кратностью покрытия. Нетрудно указать покрытие квадрата, имеющее кратность 3 (т. е. такое, что ни одна точка квадрата не принадлежит более чем трем из покрывающих множеств), — таково будет, например, правильное покрытие (см. рис. 13 на стр. 41). Однако все попытки найти покрытие квадрата достаточно малыми множествами (скажем, не соприкасающимися сразу с двумя противоположными сторонами квадрата), имеющее кратность 2, никогда не увенчаются успехом. Лебег и Брауэр доказали, что кратность любого покрытия -мерного куба достаточно малыми множествами не меньше соответственно этому они предложили назвать размерностью произвольной области В число, на единицу меньшее наименьшей возможной кратности покрытия В малыми множествами.

Скажем еще об одном способе определения размерности области В, который обсуждается уже довольно давно, хотя здесь еще нет окончательных результатов. Рассмотрим снова покрытие области В, например квадрата, замкнутыми множествами и подсчитаем для каждого из множеств покрытия число других множеств, пересекающихся с данным хотя бы в одной точке (или, как принято говорить, число соседей данного множества). Наибольшее из этих чисел представляет собой некоторую новую характеристику покрытия, которую можно назвать кратностью в смысле соседей. Нетрудно указать покрытие квадрата малыми множествами, кратность в смысле соседей которого равна 6; здесь тоже примером может служить правильное покрытие (6, 3) С другой стороны, не существует покрытия квадрата малыми множествами, кратность в смысле соседей которого меньше шести; доказательство этого независимо друг от друга указали недавно О. В. Локуциевский [1] и В. Г. Болтянский [1] (см. также более ранние работы Л. М. Лихтенбаума [1] и А Д. Александрова [3]; в самой простой форме эта теорема составляет содержание задачи 117 элементарной книги А. М. Яглома и И М. Яглома [1])

Вообще наименьшая возможная кратность в смысле соседей двумерных областей обязательно равна 6 или 7 (см. Стоун А. Г. ); это обстоятельство можно принять за определение двумерных областей. Аналогично этому для одномерных областей кратность в смысле соседей, очевидно, может быть равна 2 или, в случае «линий с точками ветвления», 3. Можно предполагать, что наименьшая возможная кратность в смысле соседей покрытия -мерной области В всегда равна К или , где К однозначно определяется размерностью этой области; если бы это предложение было доказано и зависимость от была найдена то тем самым мы получили бы новое определение размерности.

Однако до сих пор неизвестно даже, чему может быть равна наименьшая кратность в смысле соседей для трехмерных областей.

Отметим еще. что, как было указано недавно А. Н. Колмогоровым приведенные в начале настоящего приложения определения размерности при некоторой модификации могут быть положены также в основу определения некоторых численных характеристик (своеобразных «размерностей») существенно бесконечно -мерных пространств. Рассмотрим, например, «пространство» заданных на единичном отрезке непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций. «Расстояние» между двумя такими функциями определим как наибольшую из разностей значений этих функций в одной и той же точке; наличие «расстояния» позволяет говорить о «шарах радиуса г» в нашем «пространстве». Выделим теперь область В «пространства функций» такую, что все принадлежащие В функции ограничены , где А задано заранее), а их производные равномерно непрерывны где С задано заранее). Рассмотрим, как раньше, плотнейшее заполнение и редчайшее покрытие В шарами радиуса ; число участвующих в заполнении и в покрытии «шаров» обозначим через . В таком случае, как оказывается,

это число и является аналогом размерности нашего пространства. Таким же образом можно вводить «размерности» других бесконечномерных пространств. Заметим в заключение, что соотношения типа (2) выражают определенные закономерности, связанные с плотнейшими заполнениями и редчайшими покрытиями рассматриваемых бесконечномерных «пространств» равными «шарами»; из них, по-видимому, следует исходить при попытках перенести на эти «пространства» теорию расположений.