Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ПРИЛОЖЕНИЕ II. НЕСКОЛЬКО ОПРЕДЕЛЕНИЙ РАЗМЕРНОСТИПусть мы имеем некоторую ограниченную область В Одно из простейших определений размерности непосредственно апеллирует к понятиям о плотнейшем заполнении или о редчайшем покрытии области В, скажем, с шарами» определенного радиуса соответственно этому количество «шаров» малого радиуса
здесь Можно также заменить в определении (1) число
Можно так же, как заметили в 1932 г. Л. С. Понтрягин и Л. Г. Шнирельман [1], заменить в определении (1) размерности число Все эти определения размерности имеют своим исходным пунктом работу Л. С. Понтрягина и Л. Г. Шнирельмана [1] (см., впрочем, и более позднюю работу А. Н. Колмогорова [1]). Исторически же первое определение размерности, принадлежащее А. Лебегу [1] и Л. Брауэру [1], исходит из других идей. Рассмотрим покрытие какой-либо области В (скажем, квадрата) произвольными замкнутыми множествами; наибольшее число k этих множеств, сходящихся в одной точке, назовем кратностью покрытия. Нетрудно указать покрытие квадрата, имеющее кратность 3 (т. е. такое, что ни одна точка квадрата не принадлежит более чем трем из покрывающих множеств), — таково будет, например, правильное покрытие Скажем еще об одном способе определения размерности области В, который обсуждается уже довольно давно, хотя здесь еще нет окончательных результатов. Рассмотрим снова покрытие области В, например квадрата, замкнутыми множествами и подсчитаем для каждого из множеств покрытия число других множеств, пересекающихся с данным хотя бы в одной точке (или, как принято говорить, число соседей данного множества). Наибольшее из этих чисел представляет собой некоторую новую характеристику покрытия, которую можно назвать кратностью в смысле соседей. Нетрудно указать покрытие квадрата малыми множествами, кратность в смысле соседей которого равна 6; здесь тоже примером может служить правильное покрытие (6, 3) С другой стороны, не существует покрытия квадрата малыми множествами, кратность в смысле соседей которого меньше шести; доказательство этого независимо друг от друга указали недавно О. В. Локуциевский [1] и В. Г. Болтянский [1] (см. также более ранние работы Л. М. Лихтенбаума [1] и А Д. Александрова [3]; в самой простой форме эта теорема составляет содержание задачи 117 элементарной книги А. М. Яглома и И М. Яглома [1]) Вообще наименьшая возможная кратность в смысле соседей двумерных областей обязательно равна 6 или 7 (см. Стоун А. Г. Однако до сих пор неизвестно даже, чему может быть равна наименьшая кратность в смысле соседей для трехмерных областей. Отметим еще. что, как было указано недавно А. Н. Колмогоровым
это число и является аналогом размерности нашего пространства. Таким же образом можно вводить «размерности» других бесконечномерных пространств. Заметим в заключение, что соотношения типа (2) выражают определенные закономерности, связанные с плотнейшими заполнениями и редчайшими покрытиями рассматриваемых бесконечномерных «пространств» равными «шарами»; из них, по-видимому, следует исходить при попытках перенести на эти «пространства» теорию расположений.
|
1 |
Оглавление
|