Главная > Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ПРИЛОЖЕНИЕ II. НЕСКОЛЬКО ОПРЕДЕЛЕНИЙ РАЗМЕРНОСТИ

Пусть мы имеем некоторую ограниченную область В -мерного (в частном случае — обыкновенного трехмерного) евклидова пространства, которая, быть может, представляет собой кусок по верхности или линии. Что следует понимать под размерностью В? Другими словами, в чем принципиальное различие между (двумерным) квадратом и (трехмерным) кубом, между (двумерной) поверхностью и (одномерной) кривой? Этот вопрос (трактуемый в современной топологии несравненно шире, чем в настоящем приложении) стал перед математиками в конце прошлого века, когда в результате построения теории множеств выяснилось, что нельзя считать куб «более богатым точками», чем квадрат. Решение этого вопроса в ряде пунктов соприкасается с темой настоящей книги.

Одно из простейших определений размерности непосредственно апеллирует к понятиям о плотнейшем заполнении или о редчайшем покрытии области В, скажем, с шарами» определенного радиуса (под шаром радиуса здесь понимается совокупность точек области , расстояние которых от некоторой точки Р этой области — центра шара — не превосходит ). Предположим для начала, что В есть единичный квадрат или куб. Вспомним, что плотности плотнейшего заполнения квадрата и куба равными «шарами» (т. е. в случае квадрата — равными кругами) конечны; поэтому число «шаров» малого радиуса , участвующих в плотнейшем заполнении В, будет для квадрата близко к (где постоянная ) равна , а для (здесь ) по-видимому, равно Аналогично этому конечна и плотность заполнения равными «шарами» единичного -мерного куба (где произвольное целое положительное число (ср. приложение 1));

соответственно этому количество «шаров» малого радиуса , участвующих в плотнейшем заполнении куба, близко к (где постоянная равна отношению плотности заполнения к объему единичного шара -мерного пространства; впрочем, численное значение этой постоянной здесь для нас совершенно не существенно). Отсюда вытекает, что если В есть единичный куб какого-то числа измерений, то размерность В можно определить как предел

здесь есть число «шаров» радиуса , участвующих в плотнейшем заполнении В. Таким же образом может быть определена размерность любой области В.

Можно также заменить в определении (1) число числом «шаров» радиуса , участвующих в редчайшем покрытии В; так для -мерного куба В число будет в силу конечности плотности редчайшего покрытия В. Разумеется, вместо числа здесь можно также взять число шаров диаметра т. е. радиуса участвующих в редчайшем покрытии В; так, для -мерного куба В число v будет в силу конечности плотности покрытия всего лишь примерно в раза больше и поэтому

Можно так же, как заметили в 1932 г. Л. С. Понтрягин и Л. Г. Шнирельман [1], заменить в определении (1) размерности число наименьшим числом произвольных множеств, диаметры которых не превосходят и которыми можно покрыть В (диаметром произвольного множества называется наибольшее из расстояний между его точками). Заметим еще, что можно также определить как наибольшее возможное число точек В, расстояние между каждыми двумя из которых не меньше (в (1) можно заменить и на наибольшее число точек , расстояние между каждыми двумя из которых не превосходит — как наименьшее число таких точек В, что каждая точка В удалена хоть от одной из этих точек не больше чем на (совокупность таких точек составляет -сеть области В).

Все эти определения размерности имеют своим исходным пунктом работу Л. С. Понтрягина и Л. Г. Шнирельмана [1] (см., впрочем, и более позднюю работу А. Н. Колмогорова [1]). Исторически же первое определение размерности, принадлежащее А. Лебегу [1] и Л. Брауэру [1], исходит из других идей. Рассмотрим покрытие какой-либо области В (скажем, квадрата) произвольными замкнутыми множествами; наибольшее число k этих множеств, сходящихся в одной точке, назовем кратностью покрытия. Нетрудно указать покрытие квадрата, имеющее кратность 3 (т. е. такое, что ни одна точка квадрата не принадлежит более чем трем из покрывающих множеств), — таково будет, например, правильное покрытие (см. рис. 13 на стр. 41). Однако все попытки найти покрытие квадрата достаточно малыми множествами (скажем, не соприкасающимися сразу с двумя противоположными сторонами квадрата), имеющее кратность 2, никогда не увенчаются успехом. Лебег и Брауэр доказали, что кратность любого покрытия -мерного куба достаточно малыми множествами не меньше соответственно этому они предложили назвать размерностью произвольной области В число, на единицу меньшее наименьшей возможной кратности покрытия В малыми множествами.

Скажем еще об одном способе определения размерности области В, который обсуждается уже довольно давно, хотя здесь еще нет окончательных результатов. Рассмотрим снова покрытие области В, например квадрата, замкнутыми множествами и подсчитаем для каждого из множеств покрытия число других множеств, пересекающихся с данным хотя бы в одной точке (или, как принято говорить, число соседей данного множества). Наибольшее из этих чисел представляет собой некоторую новую характеристику покрытия, которую можно назвать кратностью в смысле соседей. Нетрудно указать покрытие квадрата малыми множествами, кратность в смысле соседей которого равна 6; здесь тоже примером может служить правильное покрытие (6, 3) С другой стороны, не существует покрытия квадрата малыми множествами, кратность в смысле соседей которого меньше шести; доказательство этого независимо друг от друга указали недавно О. В. Локуциевский [1] и В. Г. Болтянский [1] (см. также более ранние работы Л. М. Лихтенбаума [1] и А Д. Александрова [3]; в самой простой форме эта теорема составляет содержание задачи 117 элементарной книги А. М. Яглома и И М. Яглома [1])

Вообще наименьшая возможная кратность в смысле соседей двумерных областей обязательно равна 6 или 7 (см. Стоун А. Г. ); это обстоятельство можно принять за определение двумерных областей. Аналогично этому для одномерных областей кратность в смысле соседей, очевидно, может быть равна 2 или, в случае «линий с точками ветвления», 3. Можно предполагать, что наименьшая возможная кратность в смысле соседей покрытия -мерной области В всегда равна К или , где К однозначно определяется размерностью этой области; если бы это предложение было доказано и зависимость от была найдена то тем самым мы получили бы новое определение размерности.

Однако до сих пор неизвестно даже, чему может быть равна наименьшая кратность в смысле соседей для трехмерных областей.

Отметим еще. что, как было указано недавно А. Н. Колмогоровым приведенные в начале настоящего приложения определения размерности при некоторой модификации могут быть положены также в основу определения некоторых численных характеристик (своеобразных «размерностей») существенно бесконечно -мерных пространств. Рассмотрим, например, «пространство» заданных на единичном отрезке непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций. «Расстояние» между двумя такими функциями определим как наибольшую из разностей значений этих функций в одной и той же точке; наличие «расстояния» позволяет говорить о «шарах радиуса г» в нашем «пространстве». Выделим теперь область В «пространства функций» такую, что все принадлежащие В функции ограничены , где А задано заранее), а их производные равномерно непрерывны где С задано заранее). Рассмотрим, как раньше, плотнейшее заполнение и редчайшее покрытие В шарами радиуса ; число участвующих в заполнении и в покрытии «шаров» обозначим через . В таком случае, как оказывается,

это число и является аналогом размерности нашего пространства. Таким же образом можно вводить «размерности» других бесконечномерных пространств. Заметим в заключение, что соотношения типа (2) выражают определенные закономерности, связанные с плотнейшими заполнениями и редчайшими покрытиями рассматриваемых бесконечномерных «пространств» равными «шарами»; из них, по-видимому, следует исходить при попытках перенести на эти «пространства» теорию расположений.

1
Оглавление
email@scask.ru