§ 4. Несколько расположений более чем 9 точек

В случаях максимальная фигура известна лишь лри , так что мы здесь укажем лишь предположительные расположения для ряда значений п. Эти расположения, указанные Шютте и Ван дер Варденом, во всяком случае позволяют оценить снизу величину

С обеих сторон (сферического) отрезка АВ длины а построим по правильному четырехугольнику ABCD и ABEF. Далее построим на отрезках CD и EF равносторонние треугольники и дополним полученную фигуру двумя ромбами ADHF и BEJC (рис. 108).

Очевидно, что можно так выбрать величину а, что длина стороны ромба совпадает с а.

Рис. 108.

При этом получается граф, состоящий из 6 треугольников и 5 четырехугольников; весьма вероятно, что этот граф и определяет самое выгодное расположение 10 точек.

Рис. 109

Аналогично равенству имеет место, вероятно, также и равенство

Удобно поместить одну из 13 точек в северный полюс сферы, а прочие 12 расположить симметрично по четыре на широтных кругах («зональное» расположение) с тем, чтобы наименьшее расстояние между точками было возможно большим. Полученный таким образом граф содержит один правильный четырехугольник, 4 треугольника и 8 ромбов, из которых 4 сходятся в северном полюсе (рис. 109).

Эта конфигурация вместе с неравенством , доказывает, что

Недавно Шютте и Ван дер Вардену удалось доказать замечательное неравенство о соображениях, делающих этот результат особенно интересным, будет еще сказано ниже (см. стр. 262 и 273).

n = 14. Пусть ABCDEF — равносторонний сферический шестиугольник с длиной стороны а и пусть точки удалены от северного полюса N на расстояние а, так что диагонали AD и BE разбивают шестиугольник на два равносторонних треугольника NAB и NDE и на два ромба N BCD и NEFA. Рассмотрим равный первому шестиугольник A ...F с центром в южном полюсе 5, расположенный так, что треугольники AFB, ECD, DCE, ВFA — равнобедренные.

Рис. 110.

При соответствующим образом выбранной величине а эти треугольники будут равносторонними, причем вершины обоих шестиугольников и полюсы N и S сферы образуют сравнительно благоприятное расположение 14 точек. Соответствующий граф содержит 8 треугольников и две группы по 4 ромба; все точки его имеют степень 4 (рис. 110).

n = 15. Выгодное размещение 15 точек можно получить, располагая 15 точек по 3 на 5 широтных кругах так, что каждая «зона» из трех точек составляет правильный треугольник, вписанный в соответствующий широтный круг; наименьшим будет расстояние а между точками 1-й (северной) и 5-й (южной) зон, т. е. стороны треугольников, вписанных в (равные между собой) 1-й и 5-й широтные круги. Зоны 2-я и 4-я выбраны так, что любая из трех точек каждой из этих зон имеет по две «соседние» точки в 1-й, соответственно в 5-й зоне, т. е. такие точки, расстояние которых от рассматриваемой равно а.

Чтобы сделать наименьшее расстояние между двумя точками возможно большим, мы выберем точки 3-й зоны так, чтобы они лежали не на экваторе, а на некотором широтном круге. Если повернуть соответствующим образом северные точки (точки 1-й и 2-й зоны) по отношению к южным точкам (точкам 4-й и 5-й зон) вокруг полярной оси, то можно будет так расположить точки 3-й зоны, что каждая из них будет иметь по одной «соседней» точке во 2-й, 4-й и 5-й зонах (т. е. по одной течке, расстояние которой от этой точки 3-й зоны равно а).

Рис. 111.

Рис. 112.

Соответствующий граф содержит 12 треугольников, 3 четырехугольника и 3 пятиугольника; точки 5-й зоны имеют степень 5, точки 3-й зоны степень 3, а все остальные точки — степень 4 (рис. 111).

Здесь оказывается благоприятным зональное расположение точек (по 4 точки на одном широтном круге), при котором все точки имеют степень 4. Соответствующий граф состоит из 8 треугольников, 8 равных ромбов и 2 правильных четырехугольников (рис. 112).

n = 24. Весьма благоприятное расположение 24 точек дают вершины вписанного в сферу полуправильного архимедова многогранника (3, 3, 3, 3, 4) (см. выше рис. 106).

n = 32. Спроектируем на сферу из ее центра 20 центр граней вписанного правильного икосаэдра (или 12 центров граней вписанного правильного додекаэдра).

Эти 20 (12) точек вместе с 12 вершинами икосаэдра (20 вершинами додекаэдра) дают расположение 32 точек на сфере, которое, по-видимому, является самым выгодным. Соответствующий граф содержит 30 ромбов, 12 точек 4-й степени и 20 точек 3-й степени. Этот граф совпадает с сетью линий, которая получается при проектировании на сферу из ее центра ребер полуправильного многогранника ограниченного 30 равными ромбами (этот многогранник, двойственен архимедову почуправильному многограннику 3, 5)).