§ 4. Одно экстремальное свойство эллипса

Докажем следующую теорему:

Пусть Т — выпуклая фигура и — вписанный -угольник наибольшей площади. Тогда

причем равенство достигается только в том случае, когда Т есть эллипс.

Таким образом, из всех выпуклых фигур эллипс наименее точно может быть заменен вписанным -угольником (если точность приближения выпуклой области вписанным -угольником оценивать отношением площадей). Замечательно при этом, что в этой задаче экстремальная область не зависит от значения я; в двойственной задаче об описанных -угольниках это обстоятельство уже не будет иметь места.

Для доказательства выберем прямоугольную систему координат х, у так, чтобы концы наибольшей хорды Т имели координаты (-1,0) и (1,0). В этой координатной системе кривую динию К, ограничивающую Т, можно представить системой уравнений

где — непрерывная, положительная функция t с периодом .

Впишем теперь в кривую линию К многоугольник, вершины которого находятся в точках К, определяемых значениями параметра Площадь этого -угольника будет равна:

Если теперь положим

то получим:

Так как интегральное среднее величины равно

то заведомо найдется такое значение , что , что и доказывает неравенство (1).

Теперь покажем, что знак равенства в (1) достигается только для эллипса.

Если не постоянно, то в силу непрерывности найдется такое значение для которого

Однако как это было впервые показано Сасом [2), может быть постоянным и в том случае, когда не является постоянным. Покажем, что в этом случае не представляет собой вписанный -угольник наибольшей площади.

Предположим, что многоугольник ни при каком значении t не может быть увеличен. Тогда Т имеет в каждой вершине опорную прямую, которая параллельна прямой, соединяющей обе смежные вершины многоугольника. Отсюда следует, что кривая линия К имеет непрерывно изменяющуюся касательную и что [36]

Следовательно, имеет в этом случае непрерывную производную ограниченной вариации. Если разложим в ряд Фурье:

то дифференцирование даст:

Отсюда по теореме единственности Кантора из теории тригонометрических рядов следует, что для , т. е. что

Так как , то это возможно, только если , т. е. если кривая К - эллипс.

Повторим кратко еще раз построение, использованное выше. Наибольшую хорду кривой К принимаем за диаметр круга, в который вписан правильный -угольник. Затем проектируем вершины правильного -угольника перпендикулярно к наибольшей хорде на кривую К, при этом мы приходим к -угольнику, вписанному в кривую. Если построенные таким образом -угольники не все равновелики, то среди них имеется такой, площадь которого больше чем . Если же все эти -угольники равновелики, то площадь каждого из них равна . В этом последнем случае либо среди рассмотренных -угольников имеется по крайней мере один, площадь которого можно увеличить сдвигом одной из вершин вдоль кривой, либо кривая К есть эллипс.

Рассмотрим теперь аналогичную задачу, относящуюся к описанным многоугольникам: для какой из равновеликих выпуклых фигур площадь описанного -угольника наименьшей площади достигает максимума?

Неравенство которое означало бы, что и тут экстремальная фигура является эллипсом, в общем случае не имеет места. Так, например, для единичного квадрата из , что больше, чем

Можно доказать, что для экстремальной фигурой является квадрат (или, более обще, параллелограмм, который аффинно тождествен с квадратом) Для экстремальные фигуры не известны, однако мы знаем, что для больших значений они приближенно могут быть заменены эллипсами. А именно, имеет место следующая теорема:

Пусть Т — выпуклия фигура, граничная кривая которой содержит две равные диаметрально противоположные дуги окружности периметра L (радиуса общей длины (здесь мы считаем, что ). Тогда вокруг фигуры Т можно описать -угольник площади

Эта теорема позволяет предположить, что экстремальные кривые для при подходящем «аффинном нормировании» довольно быстро будут сходиться к кругу.

Представим снова граничную кривую К фигуры Т системой уравнений (2), так чтобы точки совпадали с серединами фигурирующих в теореме дуг окружности, и рассмотрим описанный -угольник точки соприкосновения сторон которого с К определяются значениями параметра. Покажем, что

Рассмотрим для этого правильный -угольник, описанный около круга

точки соприкосновения сторон которого с кругом определяются значениями параметра, и спроектируем каждую сторону перпендикулярно к оси на соответствующую сторону Таким образом, получаем я отрезков, касающихся кривой К. Дополняем эти отрезки до замкнутой ломаной, соединив соответствующие точки отрезками, перпендикулярными к оси . Правая часть выписанного выше неравенства представляет собой не что иное, как площадь ограниченного этой ломаной многоугольника, заключающего внутри себя .

Теперь имеем:

откуда и следует неравенство (3).

В случае произвольной выпуклой фигуры это рассуждение не проходит, так как рассмотренная ломанная в общем случае не является простой замкнутой ломаной и, с другой стороны, может выйти за пределы многоугольника, ограниченного этой ломаной.

Аналогичные задачи, относящиеся не к площади, а к периметру, не решены ни для описанных, ни для вписанных многоугольников Поэтому представляет определенный интерес следующая точная оценка, относящаяся к задаче об одновременном приближении выпуклой кривой вписанными и описанными -угольниками: каждую выпуклую кривую можно заключить между вписанным -угольником периметра и описанным -угольником периметра такими, что

Рассмотрим произвольный правильный -угольник, содержащий внутри себя нашу кривую, сдвинем параллельно все его стороны до соприкосновения с кривой. Таким образом, мы получим равноугольный описанный -угольник. Если соединить соседние точки соприкосновения, то мы получим вписанный -угольник. Мы утверждаем, что для рассматриваемой пары -угольников достигается неравенство (4). Пусть А и В — две смежные вершины вписанного -угольника и С — точка пересечения соответствующих касательных. Зафиксируем вершины А и В треугольника ABC и будем изменять С так, чтобы величина угла АСВ (равная — не менялась; при этом сумма достигает максимума, когда Отсюда вытекает, что

Если просуммировать все подобные неравенства, то получим: что и требовалось доказать.

Аналогичная теорема для площади читается следующим образом: для каждой выпуклой фигуры можно указать такие вписанный -угольник и описанный -угольник что

Доказательство этого неравенства (представляющееся, впрочем, чрезмерно сложным) будет приведено в § 6.