Главная > Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Некоторые другие доказательства

Собранные в этом параграфе доказательства тех же неравенств (1,1) и (1,2) принципиально проще, так как они не опираются на неравенство Иенсена.

Докажем прежде всего следующее предложение, эквивалентное неравенству (1,1):

Среди точек единичной сферы всегда можно найти две такие, расстояние между которыми

Для сферического расстояния между теми же точками из (1) вытекает оценка

(2)

Правая часть последнего неравенства представляет собой не что иное, как длину стороны равностороннего сферического треугольника площади —

Доказательство основывается на следующей лемме:

Пусть АВ наименьшая сторона сферического треугольника равносторонний треугольник. Если то радиус сферической окружности, описанной вокруг Д, больше, чем АВ.

Для доказательства предположим, что С и С лежат по одну сторону от большой окружности АВ и рассмотрим окружности а, b и с радиуса АВ с центрами А, В и далее обозначим отличную от А точку пересечения кругов и с через А и отличную от В точку пересечения кругов а и с через В (рис. 97). Треугольники ABA, АВВ и ABC равновелики ; поэтому дуга круга АВС, лежащая «выше» большого круга АВ, явчяетсн геометрическим местом вершин равносторонних треугольников с основанием АВ (ср. § 8 гл. I). Согласно нашему предположению С лежит выше большого круга АВ и ниже круга Лекселля АВС. Так как С лежит вне кругов а и b, то С должна лежать и вне с, что и доказывает наше утверждение.

Предположим теперь снова, что и что точки не лежат на одной полусфере. Тогда выпуклая оболочка Н этих точек содержит центр О сферы. Далее можно предположить, что многогранник Н имеет только треугольные грани, так как каждую не треугольную грань всегда можно разложить на треугольники; в таком случге число граней Н будет равно Рассмотрим сеть линий на сфере, которая получается, если спроектировать

Рис. 97.

все ребра многогранника Н из центра О сферы на ее поверхность. Эта сеть линий разбивает поверхность сферы на ряд сферических треугольников; пусть - наименьший из них. Если бы неравенство (2) не выполнялось, т. е. наименьшее из измеренных по сфере расстояний между двумя из наших точек, а следовательно, и каждая сторона А, было бы больше , то в силу неравенства и доказанной леммы также и радиус круга, описанного вокруг А, был бы больше чем . Но так как круг, описанный около А, не содержит внутри себя ни одной из точек нашей системы, то эту систему точек можно дополнить еще одной точкой — центром описанного круга без того, чтобы наименьшее расстояние пары точек стало меньше или равно

Это пополнение числа точек можно таким же образом продолжить и далее. Но так как число точек, наименьшее расстояние между двумя из которых больше очевидно, ограничено, то после конечного числа шагов мы придем к противоречию.

Обратимся теперь к неравенству (1,2), которое при можно сформулировать также следуюцим образом.

Если выпуклый многогранник с вершинами или с гранями заключается внутри шарового слоя, ограниченного концентрическими сферами радиусов и R, то

Так как многогранник с вершинами полярным преобразованием переводится в многогранник с гранями, то в этой теореме утверждения о том, что многогранник имеет вершин, и о том, что он имеет граней, эквивалентны между собой. Наше утверждение, относящееся к случаю -гранника, связано с задачей о покрытии сферы в силу того, что плоскости, отрезающие от сферы К покрывающие поверхность К (сферические) круги ограничивают -гранник, содержащийся внутри К. То что круги не слишком малы, равносильно тому, что радиус концентрического с К шара, заключающегося внутри -гранника, не слишком велик; наоборот, по величине сферических кругов, а следовательно, и по плотности покрытия можно судить о радиусе [].

Докажем (3) для многогранника вершинами. Без ограничения общности можно считать, что . Далее предположим, что Р имеет только треугольные грани. Так как число треугольных граней равно , то сферическая сеть, получающаяся проектированием ребер Р из центра шара К на его поверхность, содержит по крайней мере один треугольник площади, не меньшей чем радиус о (сферической) окружности, описанной вокруг этого треугольника, не меньше, чем радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника площади

Отсюда следует, что наименьшее из расстояний рассматриваемых треугольных граней от центра шара, а значит, также и величина , не превосходит что и доказывает неравенство (3).

Это рассуждение, по-видимому, представляет собой самое простое доказательство неравенства (1,2).

Приведем, наконец, еще одно доказательство неравенств (1,1) и (1,2). Отметим на сфере точки минимальное расстояние (сферическое) о между которыми равно стороне равностороннего треугольника , и обозначим радиус описанной вокруг окружности через , а угол А — через Опишем вокруг каждой точки круг радиуса . Так как никакая часть поверхности сферы не будет при этом покрыта более чем двумя кругами, то площадь части поверхности, покрытой кругами, равна

где сумма распространена по всем возможным комбинациям Но число отличных от нуля пересечений не может превосходить наибольшего возможного числа ребер выпуклого -гранника в силу (1, 6, 4), равного . С другой стороны, не может превосходить пересечения двух кругов, расстояние между центрами которых равно о. Следовательно, имеем

Так как, далее, площадь части поверхности шара, покрытой кругами, не может превосходить то

то есть

что и доказывает неравенство (2), а следоватетьно и (1,1).

Чтобы получить аналогичное доказательство неравенства (1,2), предположим, что круги полностью покрывают поверхность сферы радиуса единица, и будем исходить из равенства

где

есть часть поверхности шара, покрытая по крайне мере дважды кругами

Здесь сумма распространяется по чем тройкам индексов I, j, k, для которых треугольник представляет собой грань выпуклой оболочки центров кругов. Это соотношение соответствует равенству (111,4,3). Однако приведенное ниже доказательство проще того, которое было изложено в гл. III, так как здесь покрываемая область не имеет края.

Если изменять круги так, чтобы они продолжали иметь общую точку, то, совершенно аналогично случаю плоскости, достигнет минимума в том случае, когда пересечение стягивается в точку и треугольник становится равносторонним. Следовательно, имеем

Так как, далее, число равно , то

то есть

чем и завершается доказательство.

1
Оглавление
email@scask.ru