Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Некоторые другие доказательстваСобранные в этом параграфе доказательства тех же неравенств (1,1) и (1,2) принципиально проще, так как они не опираются на неравенство Иенсена. Докажем прежде всего следующее предложение, эквивалентное неравенству (1,1): Среди
Для сферического расстояния между теми же точками из (1) вытекает оценка
Правая часть последнего неравенства представляет собой не что иное, как длину Доказательство основывается на следующей лемме: Пусть АВ наименьшая сторона сферического треугольника Для доказательства предположим, что С и С лежат по одну сторону от большой окружности АВ и рассмотрим окружности а, b и с радиуса АВ с центрами А, В и Предположим теперь снова, что
Рис. 97. все ребра многогранника Н из центра О сферы на ее поверхность. Эта сеть линий разбивает поверхность сферы на ряд сферических треугольников; пусть Это пополнение числа точек можно таким же образом продолжить и далее. Но так как число точек, наименьшее расстояние между двумя из которых больше Обратимся теперь к неравенству (1,2), которое при Если выпуклый многогранник с
Так как многогранник с Докажем (3) для многогранника Отсюда следует, что наименьшее из расстояний рассматриваемых треугольных граней от центра шара, а значит, также и величина Это рассуждение, по-видимому, представляет собой самое простое доказательство неравенства (1,2). Приведем, наконец, еще одно доказательство неравенств (1,1) и (1,2). Отметим на сфере точки
где сумма распространена по всем возможным комбинациям
Так как, далее, площадь части поверхности шара, покрытой кругами, не может превосходить
то есть
что и доказывает неравенство (2), а следоватетьно и (1,1). Чтобы получить аналогичное доказательство неравенства (1,2), предположим, что круги
где
есть часть поверхности шара, покрытая по крайне мере дважды кругами Здесь сумма распространяется по чем тройкам индексов I, j, k, для которых треугольник Если изменять круги
Так как, далее, число
то есть
чем и завершается доказательство.
|
1 |
Оглавление
|