ГЛАВА II. ТЕОРЕМЫ ИЗ ТЕОРИИ ВЫПУКЛЫХ ТЕЛ

После двух хорошо известных теорем, которым будут посвящены первые два параграфа этой главы, мы рассмотрим более специальные теоремы, относящиеся главным образом к наибольшему (по площади) вписанному в выпуклую фигуру -угольнику и к наименьшему описанному -угольнику. В связи с вопросом о кривых, которые хуже всего апроксимируются -угольниками, мы придем к интересному экстремальному свойству конических сечений. Наконец, мы обсудим в этой главе основные понятия и теоремы интегральной геометрии — замечательной новой области геометрии, имеющей некоторые точки соприкосновения с задачами расположения фигур.

§ 1. «Теорема выбора» Бляшке

Под расстоянием между двумя выпуклыми фигурами G и И мы понимаем наименьшее такое число , что Н содержится в GT и G содержится в , где суть параллельные оболочки фигур G и Н ширины . Эта величина удовлетворяет естественным требованиям:

1) , причем равенство достигается только в том случае, когда G и Н совпадают;

2)

3) если G, Н и — три выпуклые фигуры, то выполняется неравенство треугольника:

Говорят, что фигура G является пределом последовательности выпуклых фигур если последовательность чисел т] сходится к нулю.

Докажем теперь основную «теорему выбора» Бляшке [1].

Из каждой бесконечной последовательности выпуклых фигур, заключающихся в каком-то фиксированном квадрате плоскости, можно выбрать сходящуюся (т. е. имеющую предел) подпоследовательность.

Доказательство проводится в два этапа. Покажем сначала, что из рассматриваемой последовательности фигур можно выбрать подпоследовательность, удовлетворяющую условию Коши. Говорят, что последовательность выпуклых фигур удовлетворяет условию Коши, если для каждого можно указать такое число N, что если только , то . Затем мы покажем, что последовательность, удовлетворяющая условию Коши, всегда имеет предел.

Пусть - бесконечная последовательность выпуклых фигур, которые все содержатся в квадрате Q. Разобьем квадрат Q на четыре равных квадрата и упорядочим фигуры соответственно тем квадратам, которые они пересекают. Так как число комбинации конечно, то имеется по крайней мере одна комбинация квадратов подразбиения, которой отвечают бесконечно много фигур. Выберем из последовательности те фигуры , которые пересекают квадраты рассматриваемой комбинации. Разобьем теперь каждый из меньших квадратов опять на четыре равных квадрата и для каждой фигуры отметим квадраты , которые эта фигура пересекает. При этом опять найдется хоть одна комбинация 16 квадратов которую пересекают бесконечно много фигур последовательности . Эти фигуры образуют новую подпоследовательность . Продолжим этот процесс и рассмотрим подпоследовательность которая характеризуется тем, что каждая фигура этой подпоследовательности пересекает одни и те же квадраты подразбиения Q на 4 более мелких квадратов.

Прежде всего очевидно, что Так как, кроме того, при последовательность является подпоследовательностью последовательности , то и для каждого имеем а значит, также и

Следовательно, для каждой пары индексов имеем Таким образом, мы видим, что подпоследовательность первоначальной последовательности удовлетворяет условию Коши.

Пусть теперь есть последовательность выпуклых фигур, удовлет оряющая условию Коши. Выберем в каждой фигуре по одной произвольной точке полученная бесконечная последовательность точек будет ограничена в квадрате Q и, следовательно, будет иметь по крайней мере одну предельную точку. Обозначим через D совершенное множество, составленное из всех точек, которые представляют собой предельные точки полученных таким образом последовательностей точек. Если выбрать некоторое число то найдется такое натуральное число , что для всех фигура содержится в параллельной оболочке множества D (которое, как мы покажем впоследствии, выпукло). Действительно, в противном случае бесконечно много выходило бы за пределы поэтому можно было бы построить такую последовательность точек выбранных по одной в каждой из фигур которая содержит бесконечную последовательность не принадлежащих точек и, следовательно, имеет не принадлежащую D предельную точку; это, однако, противоречит определению D. С другой стороны, существует такое натуральное число , что для всех параллельная оболочка множества содержит множество D. В самом деле: так как последовательность удовлетворяет условию Коши, то где v достаточно велико, содержит все С, где в силу определения D отсюда следует наше утверждение. Оба доказанных утверждения означают, что последовательность сходится к нулю, т. е. что D есть предел последовательности

Остается еще показать что D выпукло. Если Р и Q — две точки D, то они принадлежат параллельной оболочке для всех где — определенное (достаточно большое) целое число, зависящее от выбора Поэтому в обоих кругах лежат точки фигуры

А так как фигура выпукла, то весь отрезок принадлежит . В силу определения множества D отсюда вытекает, что отрезок PQ целиком принадлежит D. Такш образом, последовательность выпуклых фигур сходится к совершенному выпуклому множеству D, которое может вырождаться в отрезок или в точку. Этим самым теорема выбора окончательно доказана.

Доказательство непосредственно переносится и на случай -мерного пространства. Кроме того, это предложение верно не только для выпуклых, но и для произвольных совершенных точечных множеств.

Из «теоремы выбора» немедленно Следует: если имеется бесконечная система выпуклых фигур, заключающихся в фиксированном квадрате, то для каждого можно так выбрать конечное число фигур, что расстояние любой фигуры рассматриваемой системы от. какой-либо из выбранных фигур меньше .

Выберем из нашей системы фигур некоторые фигуры следуют образом. — любая фигура системы, удовлетворяет неравенству удовлетворяет неравенствам и т. д. Этот процесс должен прекратиться после выбора конечного числа фигур так как иначе из бесконечной последовательности нельзя было бы выбрать подпоследовательность, удовлетворяющую условию Коши. Это означает, что расстояние каждой фигуры нашей системы от одной из фигур меньше .

В заключение введем еще две новые меры расстояния между фигурами; в отличие от них определенное выше расстояние мы будем называть линейным расстоянием. Под расстоянием по площади (по объему) выпуклых фигур (тел) G и Н мы будем понимать площадь (объем) той области, точки которой принадлежат точно одной из наш фигур (тел). Можно определить также как разность площадей (объемов) суммы и пересечен множеств G и Н. Разность периметров (поверхностей) этих множеств мы назовем расстоянием по периметру (по поверхности) между G и Н. Величины и X связаны между собой определенными неравенствам ; так, например, , где L — объем (площадь) пересечения