§ 9. Некоторые тождества из векторной алгебры

Под вектором понимают направленный отрезок. Для обозначения вектора употребляют буквы жирного шрифта: а, b, с и т. д. Длина вектора а называется абсолютной величиной и обозначается через а или

Можно определить некоторые алгебраические операции над векторами, подчиняющиеся определенным правилам. Другими словами, можно построить развитой аппарат векторной алгебры, который затем может быть с успехом применен к различным областям математики. Мы здесь изложим совсем коротко основы векторной алгебры.

Два вектора, направления и величины которых совпадают, рассматриваются как тождественные, хотя бы их начальные точки и были различны.

Если — действительное число, то есть вектор, величина которого равна а направление совпадает с направлением а или ему противоположно в зависимости от того, положительно или отрицательно число X. Для определения суммы начало b совмещают с концом вектора а, тогда с есть тот вектор, который соединяет начало а с концом b. Очевидно, имеем: . Разность можно определить посредством равенства Под скалярным (внутренним) произведением векторов а и b понимают число , где — угол между векторами а и b. Под векторным (внешним) произведением понимают вектор, абсолютная величина которого равна , а направление перпендикулярно как а, так и b, причем этот вектор направлен в такую сторону, что а, b и а X b расположены в пространстве как большой, указательный и средний пальцы правой руки. Очевидно, имеем: .

Все три рассмотренные произведения обладают дистрибутивным свойством, которое выражается следующими тождествами:

Следующим важным понятием векторной алгебры является смешанное (объемное) произведение трех векторов: . Это произведение можно интерпретировать геометрически как (взятый с соответствующим знаком) объем параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с. Из этого геометрического смысла смешанного произведения вытекает, что три вектора можно циклически переставлять: Следовательно, смешанное произведение можно определить также посредством равенства .

Докажем теперь следующее важное тождество:

Если то справедливость (1) легко проверяется непосредственно Далее, если исключить из рассмотрения тривиальный случай то каждый вектор можно представить в виде где [23].

Из сказанного выше вытекает, что

складывая оба эти равенства, получаем тождество (1).

Умножим обе части тождества (1) скалярно на вектор получим:

или

Еще одно интересное следствие мы получим из (1), если замн в этом тождестве а на а х b и на