§ 6. Заполнение выпуклой области кругами n различных размеров

При плотнейшем расположении на плоскости равных кругов, при котором каждый круг касается шести других, не покрыто кругами остается плоскости. Если заполнить образовавшиеся пробелы подобно расположенными малыми кругами, то получим систему неперекрывающихся кругов двух разных размеров, которые оставляют свободной всего только плоскости. Однако то, что при заполнении плоскости кругами двух различных размеров площадь пробелов не может быть меньше единиц на 100 единиц всей площади, представляет собой отнюдь не простой и не тривиальный факт, к доказательству которого в некоторых ограничениях мы сейчас и перейдем.

Сформулированный выше результат содержится в следующей теореме;

Пусть Т есть выпуклая область и К ее вписанный круг; зададимся еще каким-то положительным числом .

Если в Т расположено любое число неперекрывающихся кругов различных размеров и t есть часть области Т, не покрытая этими кругами, то

Неравенство (1) не может быть улучшено. Равенство в нем достигается лишь в том тривиальном случае, когда в области, для которой расположен один вписанный круг К.

Если применить это неравенство к области, для которой например к многоугольнику, имеющему не больше шести сторон, то получим:

В случае наша теорема представляет собой лишь другую форму соотношения (4,1). Доказательство для общего случая опирается на следующую лемму.

Пусть G есть область, получающаяся из выпуклой области Т выбрасыванием конечного числа лежащих в Т непересекающихся кругов. Если в О расположено любое число непересекающихся равных кругов, не превосходящих наименьшего из выброшенных кругов, то сумма их площадей меньше

Рис. 71.

Пусть , есть лежащие в О круги, которые, как и ранее, мы без ограничения общности можем считать единичными, и пусть — выброшенные из К круги. Как в случае равных кругов, разложим Т на подобласти , представляющие собой пересечения Т и отвечающие кругам ячеек.

При этом ячейки здесь мы определяем при помощи конструкции, аналогичной приведенной в § 3 и отличающейся от нее лишь тем, что перпендикуляры, восставленные к отрезкам в их серединах, мы заменим теперь радикальными осями (может быть неравных!) кругов (рис. 71).

Но рассуждения, приведенные в § 4 в связи с (4,1), показывают, что для т. е. для малых кругов Следовательно,

что и требовалось доказать.

Доказательство неравенства (1) можно получить теперь с помощью метода математической индукции. Как мы уже отмечали, это неравенство справедливо при Если предположить доказанной справедливость его для значения то для подобласти G области Т, полученной выбрасыванием кругов различных радиусов, будет иметь место неравенство

Далее, согласно нашей лемме, если t есть часть области G, не покрытая малыми кругами, то

Перемножив два последних неравенства, мы получим требуемое неравенство (1).