§ 5. Некоторые неравенства, относящиеся к треугольнику

В случае из формулы (3,4) следует, что если и R — радиусы вписанного и описанного кругов треугольника, то

причем равенство достигается только в случае правильного треугольника. Мы докажем здесь несколько аналогичных предложений. Начнем со следующей теоремы, обобщающей неравенство (1).

Если — расстояния от произвольной точки О плоскости до вершин треугольника, радиус вписанного круга которого равен , то

причем равенство достигается только в случае правильного треугольника с центром О.

Это предложение является следствием следующей более сильной теоремы.

Если и - расстояния от произвольной точки О до вершин треугольника , то

причем равенство достигается только в том случае, если Д есть правильный треугольник с центром О.

Так как в силу , то отсюда следует неравенство (2).

При доказательстве неравенства (3), очевидно, можно предположить, что точка О не находится вне треугольника . Отразим симметрично точку О от прямых АВ, ВС и СА; полученные точки обозначим через С, А, В и рассмотрим шестиугольник АСВАСВ. Площадь его равна периметр — Неравенство (3) есть не что иное, как изопериметрическое неравенство (4,2), примененное к этому шестиугольнику.

Докажем теперь следующую теорему П. Эрдеша.

Если расстояния от произвольной внутренней точки О треугольника до его вершин равны а расстояния до сторон равны то

причем равенство достигается только в случае правильного треугольника с центром О.

Если условиться обозначать среднее арифметическое чисел через , то неравенство (4) можно будет переписать так:

Покажем, что это неравенство эквивалентно неравенству

где Н означает среднее гармоническое чисел [12].

Алгебраически неравенства (5) и (6), естественно, не вытекают одно из другого, напротив, в отдельных случаях то одно, то другое из них является более сильным; однако мы утверждаем, что справедливость одного неравенства для произвольного треугольника и произвольной внутренней точки О влечет за собой справедливость другого.

Рассмотрим полярное преобразование треугольника ABC относительно единичного круга с центром во внутренней точке О. Если обозначить расстояния от точки О до вершин А, В, С и до сторон ВС, СА, АВ, то расстояния от О вершин и сторон преобразованного треугольника будут равны

Неравенство (5) для этого треугольника совпадает с неравенством (6), составленным для первоначального треугольника ABC. Аналогично этому и обратно из неравенства вытекает неравенство (5).

Позже мы докажем также неравенство

где G означает среднее геометрическое чисел. Здесь, отнако, полярное преобразование не позволяет получить новое неравенство, гак как неравенство (7) при рассмотренном выше полярном преобразовании переходит само в себя.

Рис. 4.

Перейдем теперь к доказательству неравенства (4).

Обозначим углы треугольника ABC через и ортогональные проекции i гочки О на прямые ВС, СА и АВ — через Р, Q и R (рис. 4). Так как отрезок есть общая гипотенуза прямоугольных треугольников и ARO, то точки А, О, Q и R лежат на окружности с диаметром

В этой окружности хорде отвечает вписанный угол с вершиной А, величина которого равна а. или 180° — а в зависимости от того, лежат ли обе точки Q и R на сторонах ABC (не на их протолжениях!) или нет. Но во всех случаях имеем:

и аналогично

Так как, далее, в треугольнике QOR угол при вершине О всегда равен 180° — а, то

Учитывая еще, что , получаем отсюда:

т. е.

Аналогично этому находим:

Если принять во внимание полученные выше выражения для , то отсюда следует

Но так как для любого положительного , то фигурирующие здесь коэффициенты при не меньше 2, что и доказывает неравенство (4).

Так как в неравенстве равенство достигается только в случае , то все коэффициенты могут равняться 2 только когда , т. е. когда треугольник является равносторонним. Для того чтобы в (4) имел место знак равенства, необходимо еще, чтобы те члены, которые мы отбросили при оценке QR, RP и PQ, все равнялись нулю:

Это условие выполняется (при только для — чем заканчивается исследование случая равенства.