Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 13. Исторические замечанияА. Туэ [1] в своем докладе на скандинавском математическом конгрессе 1892 г. доказал теорему, которую можно сформулировать так: если F состоит из конечного числа граней многогранника Решение задачи плотнейшего покрытия кругами, сводящейся к доказательству неравенства (2,2), имеется у Кершнера [1]. При этом Кершнер заметил, что, по-видимому, не просто дать точную формулировку тому интуитивно ясному факту, что при благоприятнейшем покрытии области малыми равными кругами система центров кругов «приблизительно» образует сеть равносторонних треугольников. Такая формулировка дается приведенным в § 3 утверждением, гласящим, что экстремальные системы кругов являются сотообразными. Неравенства (2,1) и (2,2) независимо от Туэ и Кершнера другим способом были доказаны автором [3, 8, 11]. Другие доказательства и усиления неравенств (2,1) и (2,2) имеются в работах Сегре и Малера [1], Хадвигера [3] и Верблюнского [1]. Теоремы § 4—11 принадлежат автору [15, 17,26,28, 31, 32, 37]; теоремы § 8 частично являются новыми. Неравенство, аналогичное (10,1), однако, относящееся лишь к тому случаю, когда фигуры, помещаемые в области S, все гомотетичны, впервые вывел совершенно другим методом Роджерс [1]. С другой стороны, в этом частном случае неравенство Роджерса идет несколько дальше, чем (10,1), так как оно сохраняет свою силу и для не центральносимметричных фигур и для того случая, когда S не шестиугольник, а произвольная выпуклая область. С помощью этого неравенства можно заключить, что упомянутое в § 10 следствие неравенства (10, 1), относящееся к плотности заполнения центрально-симметричными выпуклыми фигурами, в случае гомотетичных выпуклых фигур остается в силе также для не центрально-симметричных фигур. Для негомотетичных выпуклых фигур это, естественно, уже не будет иметь место. Можно, однако, предположить, что плотность заполнения для бесконечной системы произвольных равных выпуклых фигур не превосходит плотности плотнейшего правильного заполнения. Роджерс дал также интересные применения своего неравенства к теории чисел. По поводу неравенства (10,2) можно указать еще работу Бамбаха и Роджерса Частный случай формулы (12, 1), относящийся к решетчатой системе Чтобы взглянуть на рассматриваемый круг вопросов с других точек зрения, упомянем еще несколько результатов и задач, Из множества V равных треугольников с соответственно параллельными сторонами (т. е. получающихся друг из друга параллельным перенесением или симметрией относительно точки) всегда можно выбрать такое подмножество Т не пересекающихся треугольников, что При этом постоянную Эта теорема, так же как и ряд аналогичных результатов, относящихся к равным кругам, гомотетичным квадратам и т. д., имеется у Р. Радо [1]. См. также Марцинкевич и Зигмунд [1], Т. Радо [2]. Мы назовем систему фигур отделимой, если имеется прямая g, не проходящая через внутреннюю точку ни одной из фигур системы, такая, что по обе стороны g лежит по крайней мере одна фигура системы. Согласно теореме, доказанной А. У. Гудманом и Р. Е. Гудманом Рассмотрим теперь конечную систему кругов такую, что ни один круг не содержит внутри себя центр другого круга. В таком случае имеет место теорема, доказанная Рейфенбергом [1], а также Бейтманом и Эрдешем [11, согласно которой наименьший круг системы может иметь общие точки не более чем с 18 другими кругами системы Теорема о числе 18 эквивалентна следующей: наибольшее число точек, расстояние между каждыми двумя из которых не меньше чем 1 и которые можно так расположить в круге радиуса 2, что одна из них совпадает с центром круга, равно Неравенство (4,1) дает для и оценку Рассмотрим теперь такую систему кругов, что каждые два круга этой системы имеют общую точку. При этом в общем случае мы не будем иметь точки, принадлежащей всем кругам, или, если выражаться более наглядно, нельзя проткнуть все круги системы иглой. Т. Галлай (Т. Gallai) высказал предположение, что существует такое не зависящее от системы натуральное число
Рис. 87. Р. Унгар и Г. Секерс (P. Unar, G. Szekeres) показали, что это предположение верно и что можно принять Исходным пунктом для задачи Галлая была общая теорема Хелли [1] Можно ожидать, что для нижней границы Дальнейшие гипотезы возникают в связи со следующей задачей: как разместить в выпуклой области Интересная задача об экстремальном покрытии была поставлена Тарским и решена Бангом [1,2]: если выпуклую фигуру можно покрыть Еще не решена полностью следующая задача: какую часть плоскости можно однократно покрыть равными кругами? Если исходить из плотнейшего заполнения плоскости кругами и увеличить концентрически все круги так, чтобы каждый круг пересекался с шестью соседними в вершинах правильного Докажем это предположение при том ограничении, что никакая точка плоскости не покрыта более чем двумя кругами. Пусть
с другой стороны,
Отсюда следует
Если отразить круг Высказанное выше предположение можно переформулировать так. Если бросить наудачу круг на плоскость с заданной на ней системой точек, то вероятность того, что круг покроет в точности одну точку системы, не превосходит Согласно предположению Гейльбронна из Точка и проходящая через нее прямая называются линейным элементом. Два линейных элемента определяют треугольник Заключим в единичный квадрат Другие задачи связаны со следующим общим понятием: система фигур называется насыщенной по отношению к фигуре G, если на плоскости нельзя расположить равную О фигуру так, чтобы она не пересекала ни одной фигуры нашей системы. В таком случае можно поставить, например, следующую задачу: какова редчайшая система единичных кругов, которая является насыщенной по отношению к данному квадрату?
|
1 |
Оглавление
|