Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 8. Одно общее неравенствоДокажем одно общее неравенство, которое допускает разнообразные применения. Оно читается следующим образом: Пусть сфера F единичного радиуса разбита сетью линий
где Равенство здесь достигается только в том случае, кбгда N есть сферическая сеть, получаемая проектированием на сферу из ее центра ребер правильного вписанного многогранника, а Следующая теорема представляет собой частный случай последнего результата Пусть
Равенство здесь достигается только тогда, когда точки Неравенство (2) есть сферический аналог неравенства (111,8,4). Доказательство неравенства (1) весьма близко к доказательству (111,8,4). Определим сначала функцию
где s есть сегмент, отрезанный большой окружностью от сферического круга К с центром О. Так же как и в случае плоскости, можно показать, что, с одной стороны, функция
где t означает пересечение К со сферическим треугольником, одна вершина которого диаметрально противоположна точке О. Так как интеграл
где
где К означает круг радиуса АВ с центром А и — интеграл Если положить теперь
Следовательно, наше неравенство можно записать следующим образом:
Здесь t означает ту часть круга К, которая дополняет сегмент тощади
Но
и, следовательно, Укажем теперь несколько применений доказанной теоремы, получающихся при специализации функции Для возрастающей функции Спроектируем сферическую область G из центра О на плоскость, касающуюся сферы в точке А. Ясно, что объем получающегося конуса выражается интегралом вида
где
Пусть теперь Если принять за
то мы получим усиление неравенства (4,1), согласно которому объем многогранника может быть заменен объемом той части многогранника, которая содержится в концентрическом шаре радиуса Отметим еще следующий частный случай последней усиленной теоремы Если S есть пересечение
В качестве совсем специального, однако, интересного применения неравенства (2) упомянем следующее экстремальное свойство икосаэдра: объем общей части двенадцати равных шаров, которые все содержат внутри себя определенный единичный шар, будет достигать минимума в том случае, когда шары касаются единичного шара в вершинах правильного икосаэдра Займемся теперь вопросом о том, какая часть поверхности шара может быть покрыта Пусть на сфере радиуса 1 задана система
Эта теорема отвечает теореме, выраженной неравенством (III,8,3); она содержит в себе также оценки (1,1) и (1,2), аналогично тому, как неравенство (III, 8, 3) содержит (III,8,1) и (III,8,2). Укажем еще неравенство
которое дает точную оценку меры покрытия;
не зависящую от числа сферических кругов. Величина Она определяет меру покрытия бесконечной системы равных кругов плотности d, центры которых образуют решетку равносторонних треугольников. Переходя к доказательству нашей теоремы, заметим прежде всего, что тот факт, что система
получим, что искомая плотность равна
Наиболее существенная часть теоремы, т. е. неравенство (4), является непосредственным следствием (2) для убывающей функции
В этом случаг левая часть неравенства (2) как раз и составляет поверхность части F, покрытой Сходное значение имеет и интеграл в правой части. Разделив обе части (2) на
|
1 |
Оглавление
|