§ 7. Изопериметрическая задача для многогранников

Если ограничиться выпуклыми телами, то изопериметрическая задача в пространстве будет читаться следующим образом: какое из выпуклых тел, имеющих равные по величине поверхности, имеет наибольший объем? Решение этой задачи выражается неравенством

связывающим величину поверхности F и объем V произвольного выпуклого тела; равенство здесь достигается в случае шара и только в этом случае [133].

В противоположность плоскому случаю здесь из справедливости неравенства (1) для произвольных выпуклых тел нельзя непосредственно вывести справедливость его и для невыпуклых тел, так как при переходе к выпуклой оболочке тела его поверхность F может увеличиться

Показано, однако, что вышеупомянутое изопериметрическое неравенство имеет место также и для произвольных невыпуклых тел.

Так же как и на плоскости, можно получить целый ряд частных задач, если искать наилучшее тело, т. е. тело с возможно меньшей величиной отношения не среди всех выпуклых тел, а среди некоторого подмножества этих тел, выделяемого определенными условиями. Нас здесь будет интересовать в первую очередь изопериметрическая задача для выпуклых многогранников.

Если иск почить исследования Люилье, то впервые этот круг вопросов был подробно изучен Штейнером Он рассматривал призмы, пирамиды и бипирамиды, образованные двумя пирамидами, сложенными равными основаниями, и заметил, что во всех этих случаях наилучший многогранник всегда будет описан вокруг шара так, что грани касаются шара в своих центрах тяжести. Это обстоятельство побудило Штейнера поставить вопрос о том, не обладает ли этим свойством также наилучший многогранник, топологический тип которого совпадает с топотогическим типом произвольного наперед заданного выпуклого многогранника. Позднее Шейиер высказал предположение, что правильная призма, описанная вокруг шлра, будет в рассматриваемом смысле наилучшей не только среди призм того же самого числа сторон, но и среди всех изоморфных этой призме многогранников.

Согласно другому замечательному предположению Штейнера среди многогранников типа произвольного правильного многогранника наилучшим является соответствующий правильный многогранник. Сам Штейнер сумел доказать это предположение, отвлекаясь от простого случая тетраэдра, указанного еще Люилье, только для октаэдра.

Позднее Л. Линделёф [1] показал, что наилучший в нашем смысле среди всех многогранников с заданным числом граней так описн вокруг шара, что грани касаются шара в своих центрах тяжести. Линделёф предполагал, что это предложение дает ответ на вышеупомянутый вопрос, поставленный Штейнером.

Это, однако, на самом деле неверно, так как -гранники, изоморфные данному -граннику, составляют только подмножество (и во всех случаях, кроме случая тетраэдра, истинное подмножество) совокупности всех вообще -гранников. Несмотря на это, из самого хода доказательства Линделёфа действительно следует, что гипотеза Штейнера выполняется для всех многогранников, имеющих только трехгранные углы. А именно Линделёф показал, что многогранник, который не удовлетворяет условию Штейнера — Линделёфа, можно всегда улучшить бесконечно малой деформацией одной его грани. Поэтому если среди всех многогранников данного топологического типа, такого, что все многогранники этого типа имеют только трехгранные углы, есть (в нашем смысле) наилучший, то этот наилучший многогранник должен удовлетворять условиям Штейнера — Линделёфа, Так как иначе его можно было бы улучшить, изменив бесконечно мало одну его грань (здесь существенно, что подобное изменение многогранника, имеющего только трехгрнные углы, не изменяет его типа.

В своих исследованиях Линделёф полностью игнорировал вопросы существования экстремального многогранника. Напротив, Минковский [2] прямо показал, что среди всех выпуклых многогранников с данными направлениями внешних нормалей граней описанный вокруг шара является наилучшим — это трехмерный аналог теоремы Люилье, упомянутой в § 4 гл. I. Отсюда легко следует также и то, что наилучший -гранник должен касаться вписанного шара в центрах тяжести всех своих граней.

Имя Минковского связано с изопериметрической проблемой также и некоторыми другими важными теоремами. Отметим, в частности, следующие неравенства Минковского:

связывающие фундаментальные характеристики V, F и М произвольного выпуклого тела. Из этих неравенств немедленно вытекает неравенство (1).

В обозначениях § 1 гл. I первое неравенство Минковского для выпуклого многогранника можно записать следующим образом:

Справедливо, однако, и более сильное неравенство

в котором равенство имеет место только в случае многогранника, описанного около шара. Элементарное доказательство неравенства (3) с помощью внутренней параллельной оболочки дал Боль [1].

Е. Штейниц [3] посвятил последнюю в своей жизни большую работу этому кругу вопросов и разрешил целый ряд из поставленных Штейнером задач. Он занимался также и вопросами существования и указал пример такого многогранника, что среди всех изоморфных ему не существует наилучшего. Он также показал, что имеется многогранник, который хотя и является наилучшим среди всех изоморфных ему многогранников, однако не удовлетворяет условию Штейнера — Линделёфа. Этим было показано, что ответ на вышеупомянутый вопрос Штейнера, вообще говоря, является отрицательным.

Штейниц занимался также гипотезой Штейнера, относящейся к призмам; он подтвердит ее для числа сторон однако опроверг в случае . Случай , т. е. случай куба, получил позднее положительное решение, причем при значительно более общих условиях (см. стр. 212). Случаи и до сих пор еще не разобраны.

Приведем высказывание Штейница ( стр. 134) о предположении Штейнера, касающегося правильных многогранников: «Методы доказательства этой гипотезы также неоднократно оказывались слабыми, и так как наш опыт рекомендует проявлять в этой области большую осмотрительность при высказывании каких бы то ни было предположений, то следует считать эти вопросы, особенно по отношению к додекаэдру и икосоэдру, пока еще не достаточно выясненными».

Эта осторожность представлялась вполне обоснованной в те времена, когда, собственно говоря, еще не было доказано ни одно экстремальное свойство правильного додекаэдра или икосаэдра. Однако различные экстремальные свойства правильных многогранников, которые известны в настоящее время, все подкрепляют предположение Штейнера.

Сверх того, можно ожидать, что правильный многогранник с трехгранными углами является наилучшим не только по сравнению с изоморфными с ним многогранниками, но даже по сравнению со всеми многогранниками с тем же числом граней, и что правильный многогранник с треугольными гранями — в усиление предположения Штейнера — является наилучшим также и среди всех многогранников с тем же числом вершин.

Наши ожидания, связанные с правильными многогранниками с трехгранными углами, на самом деле сбываются Чтобы убедиться в этом, заметим, что в силу теоремы Линделёфа—Минковского можно ограничиться только теми из многогранников с заданным числом граней, которые описаны вокруг единичного шара. Поверхность F и объем V подобного многогранника связаны соотношением следовательно, здесь Поэтому изопериметрическая задача для многогранников с заданным числом граней сводится к определению описанного -гранника наименьшего возможного объема или наимеььшей площади поверхности и соотношение (4, 2) приводит к следующей замечательной теореме:

Если F — площадь поверхности и V — объем выпуклого -гранника, то

причем равенство достигается только для правильного многогранника с трехгранными углами.

Эта теорема дает даже заметно больше, чем только доказательство справедливости предположения Штейнера для случаев куба и додекаэдра.

Случай икосаэдра, напротив, остается не ясным. Можно, однако, предположить, что для выпуклого многогранника с вершинами

причем равенство достигается только для правильного многогранника с треугольными гранями. Имеет место, вероятно, даже более общее неравенство

охватывающее оба неравенства (4) и (5); здесь k означает число ребер, среднее число сторон одной грани и q среднее число ребер, выходящих из одной вершины; равенство в (6), по-видимому, достигается только для правильных многогранников.

Если бы удалось доказать (6), то тем самым изопериметрическая задача для многогранников в известном смысле была бы полностью решена.

При доказательстве неравенства (4) удобно исходить из теоремы Линделёфа Минковского, дающей необходимое условие, которому должен удовлетворять наилучший -гранник. Попытаемся теперь найти подобное же условие для многогранника с -вершинами. При этом обнаруживается, что наилучший многогранник с заданным числом вершин есть истинный многогранник с треугольными гранями.

Пусть есть вершина выпуклого многогранника V с вершинами и смежные вершины, взятые в циклической последовательности. Отложим в плоскости каждого треугольника вектор исходящий из точки Е и перпендикулярный к величина , которого равна Изменение площади при бесконечном малом сдвиге на вектор равно

Следовательно, изменение всей поверхности F многогранника V

Заметим, что эта формула сохраняет смысл также и в том случае, когда не есть ребро V. Действительно, если, например, есть грань V, то при вычислении безразлично, понимать ли V как предельный случай многогранника с ребрами или как предельный случай многогранника с ребрами ЕА, АВ и ЕВ. Это следует из того, что получается из вектора поворотом на . С этим связан тот интересный факт, что в то время как геометрическое место точек , для которых объем выпуклой оболочки Н вершины и остальных гершин остается постоянным, является границей выпуклого многогранника Р, точки , для которых остается постоянной площадь поверхности Н, описывают гладкую выпуклую поверхность .

Для наилучшего многогранника, очевидно, Р должен содержать внутри себя поверхность . Следовательно, Е не может лежать на ребре Р, откуда вытекает, в соответствии с нашим утверждением, что в Е могут сходиться только треугольные грани V.

Чтобы получить теперь искомое условие, заметим, что для наилучшего многогранника должно быть

Мы имеем, однако:

где — перпендикулярный к плоскости вектор величины направленный во вне по отношению к многограннику. Следовательно, для каждого должно быть

Итак, в каждой вершине наилучшего многогранника с данным числом вершин векторы должны взаимно уравновешиваться.