§ 6. Вариационная задача для аффинной длины

Известно, что среди выпуклых дуг, заключающихся в треугольнике АОВ, наибольшую аффинную длину имеет дуга параболы, касающаяся прямых АО и ВО; с другой стороны, среди всех равновеликих выпуклых фигур наибольший аффинный периметр имеет эллипс («изопериметрическое свойство эллипса», обнаруженное Бляшке).

Обе эти теоремы можно объединить в следующее предложение:

Среди всех выпуклых дуг АВ, заключающихся в треугольнике АО В и определяющих сегмент данной площади, наибольшую аффинную длину имеет дуга конического сечения, касающегося прямых АО и ВО.

Рис. 51.

Под площадью сегмента здесь понимается площадь выпуклой оболочки дуги АВ (рис. 51).

Экстремальное свойство дуги параболы вытекает из сформулированного выше предложения в силу того, что среди всех рассматриваемых дуг конических сечений дуга параболы имеет наибольшую аффинную длину (см. выше стр. 83). Изопериметрическое свойство эллипса можно вывести из предельного случая нашей теоремы, который получается, если считать точку О бесконечно удаленной. Действительно, заключим выпуклую фигуру Е между двумя параллельными опорными прямыми, касающимися ее в точках А и В так, чтобы хорда АВ разбивала фигуру Е на две равновеликие части (то, что это всегда возможно, следует из соображений непрерывности ). Если заменим дуги АЕГ и ВАГ соответствующими дугами эллипсов, то фигура Е станет эллипсом. Так как пр i этом в силу нашей теоремы аффинный периметр Е увеличится, то фигура Е сама должна быть эллипсом.

С другой стороны, легко можно показать, что сформулированная выше теорема сохраняет силу также и в случае, когда треугольник АОВ заменяется бесконечной частью плоскости, ограниченной отрезком АВ и продолжениями сторон АО и ВО треугольника. В этом счучае, естественно, приходится ограничиться лишь рассмотрением дуг эллипсов.

Обобщенная таким образом теорема содержит также и изопериметрическое свойство эллипса, к которому мы приходим при рассмотрении того предельного случая, когда точки А, В и О совпадают и часть плоскости, в которой могут проходить допустимые кривые, вырождается в полуплоскость.

Для доказательства нашей теоремы покрываем дугу кривой цепью треугольников, состоящей из равновеликих треугольников. Пусть -внешняя ломаная, ограничивающая эту цепь, - внутренняя ломаная (рис. 52).

Рис. 52.

Обозначим далее выпуклые оболочки рассматриваемых ломаных через Р и Q. Покажем сначала, что если независимо от кривой К изменять заключенную в треугольнике АОВ цепь треугольников так, чтобы площадь Р оставалась постоянной и треугольники цепи были все равновелики, то площадь достигнет максимума когда отвечает дуге конического сечения, касающегося прямых АО и ВО.

Для того чтобы убедиться в существовании максимума, будем свободно менять положение точек при этом в том случае, когда многоугольник Р имеет не больше вершин, мы будем считать, что . Площадь будет являться непрерывной функцией точек , которые могут произвольно перемещаться внутри замкнутого треугольника АОВ (при том единственном условии, чтобы площадь Р оставалась постоянной). При этом существование максимума будет вытекать из теоремы Вейерштрасса,

Доказательство сформулированного выше утверждения сводится к тому, чтобы показать справедливость следующих трех условий для экстремальной цепи треугольников:

1)

2)

3) лежат на отрезках АО и .

Здесь следует понимать точки, симметричные относительно А, соответственно Б

Очевидно, достаточно показать, что если условия 1, 2 и 3 не выполняются, то можно увеличить площадь одного треугольника без изменения площади Р так, чтобы площадь остальных треугольников цепи не уменьшалась.

Чтобы доказать это для условия 1 заметим, что нам достаточно показать, что точки расположены в серединах сторон

Рис. 53.

Действительно, если бы, например, было , то точку можно было бы заменить точкой лежащей на отрезке так, что уменьшается, a увеличивается; повернув затем вокруг можно добиться того, чтобы новые треугольники снова стали равновеликими (рис. 53). Если лежит достаточно близко к , то если же точка Q, близка к то, наоборот,

Из соображений непрерывности следует, что точку можно выбрать так, что , в этом случае площадь остается неизменной. Так как, однако, , то имеем t что и доказывает утверждение 1.

Далее мы будем считать, что . Тогда утверждение 2 можно заменить следующим:

Рис. 54.

Предположим, что это не так и что расстояние d от точки до прямой меньше, чем расстояние D от точки до той же самой прямой; затем сдвинем точку параллельно в положение так, чтобы расстояние от этой точки до уменьшилось, и заменим и точками и пересечения прямой и с (рис. 54). В то время как площадь Р при этом преобразовании остается неизменной, площадь Q уменьшается на величину порядка действительно, если Q есть новый многоугольник как легко подсчитать,

Если мы заменим теперь такими точками сторон для которых соответственные треугольники опять равновелики и обозначим новый многоугольник Q через то отрезки по порядку величины, очевидно, не превосходят . С другой стороны, так как то также и углы, образованные прямыми имеют порядок величины . Следовательно, разность имеет порядок величины откуда вытекает, что для достаточно малых значений . Этим завершается доказательство утверждения 2.

Теперь при доказательстве утверждения 3 мы можем считать, что Предположим, что не лежит на АО. Если сдвинуть в положение параллельно в положение на АО, то этом не изменится ни площадь Q, ни площадь Р. Если затем сдвигать точку вдоль отрезка то площадь Q, очевидно, будет уменьшаться. Поэтому для некоторого положения точки на этом отрезке будем иметь чем закончится доказательство утверждения 3.

Покажем теперь, что наша экстремальная цепь треугольников, для которой выполняются условия 1, 2 и 3, отвечает дуге конического сечения, касающегося прямых АО и ВО. Для того чтобы это доказать, рассмотрим то коническое сечение, которое касается отрезков в их серединах. Для того чтобы убедиться в существовании такого конического сеченчя, мы будем с штать, что трапеция равнобедренная: это не отразится на общности наших рассуждений Среди всех конических сечений, которые касаются отрезков в их серединах, имеется одно единственное, которое касается также и прямой . Соображения симметрии убеждают нас, что точка касания этого конического сечения с отрезком лежит в его середине, что и доказывает наше утверждение.

Покажем теперь, что построенное коническое сечение касается также отрезков причем точками касания служат середины этих отрезков.

Теперь мы будем считать, что (а не как раньше). В силу условий 1 и 2 также лежит на оси симметрии равнобочной трапеции Рассмотрим теперь совокупность конических сечений, касающихся отрезков в их серединах. Среди них имеется только одно, которэе касается также и прямой Это коническое сечение, однако, тождественно с прежним и поэтому касается отрезка в его середчне. Из соображений симметрии следует, что оно должно касаться также и отрезка в его середине. Подобным способом можно показать это и для остальных сторон.

В то время, как ломаная Вописана около нашего конического сечения, ломаная в него вписана. То, что коническое сечение касается АО и ВО, следует из условия 3. Отсюда уже вытекает (в силу формулы ) требуемое экстремальное свойство дуг конического сечения. Нам остается только доказать единственность этого решения задачи на максимум.

Мы хотим показать, что рассмотренная выше цепь треугольников отвечающая экстремальной дуге К, обязательно охватывает также и дугу конического сечения, касающуюся АО и ВО. Это, однако, может иметь место для всех значений лишь в том случае, если К сама представляет собой дугу конического сечения.

Предположим, что это не так, т. е. что цепь не охватывает дуги конического сечения, касающегося АО и ВО. Согласно доказанному в этом случае можно заменить другой цепью треугольников состоящей также из равновеликих треугольников, площадь которых больше, чем прежняя, в то время как площадь внешнего многоугольника Р остается неизменной. Возьмем треугольник из первоначальной цепи; в новой цепи ему соответствует треугольник . Если мы заменим дугу кривой на такую дугу конического сечения, которая касается сторон причем где — площади сегментов и соответственно и выполним это построение для каждого треугольника, то мы получим в треугольнике АОВ новую вы

Площадь сегмента остается неизменной, в то время как его аффинная длина увеличивается; последнее станет ясным, если мы убедимся, что имеет большую аффинную длину, чем . Таким образом остается только показать, что

где есть функция, введенная в § 5 [52]. Если обозначить

то, так как — доказываемое неравенство сведется к следующему:

Но это последнее неравенство в силу непосредственно следует из вогнутости функции .

Этим и завершается доказательство нашей теоремы. Докажем теперь следующую теорему.

Если выпуклая фигура аффинного периметра X заключена в выпуклом -угольнике Т, то

этом равенство достигается только в том случае, когда Т аффинно правильный -угольник и фигура ограничена дугами параболы, касающимися двух смежных сторон Т в их серединах.

В качестве непосредственного следствия этой теоремы можно отметить предельный случай ее, получаемый при аффинный периметр X и площадь Т произвольной выпуклой фигуры удовлетворяют неравенству

Это - «изопериметрическое неравенство плоской аффинной геометрии», выражающее изопериметрическое свойство эллипса.

Мы можем, разумеется, ограничиться тем случаем, когда Т есть описанный вокруг рассматриваемой фигуры -угольник наименьшей площади; при этом точки касания совпадут с серединами сторон Т. Если соединить середины соседних сторон, то получим цепь треугольников; эти треугольники мы обозначим через . Согласно экстремальному свойству дуги параболы

Этим самым наша проблема сводится к определению того выпуклого -угольника. для которого сумма будет больше, чем для всех равновеликих ему выпуклых -угольников. При этом существование максимума опять-таки следует из теоремы Вейерштрасса.

Легко показать, что в экстремальном случае треугольники должны быть равновелики. Это проще всего пояснить следующим образом. Пусть два смежных треугольника экстремальной цепи, и Повернем сторону вокруг ее середины Q, на бесконечно малый угол так, чтобы было . Тогда в то время как

таким образом, мы приходим к очевидному противоречию.

Если же треугольники равновелики, то прежнее рассуждение показывает, что экстремальный многоугольник Т может быть так описан около элипса, чтобы точки касания делили стороны Т пополам. Следовательно, Т должен быть аффинно правильным, и для доказательства теоремы остается только еще вычтслить сумму для правильного -угольника

В заключение заметим, что наше рассуждение вместе с тем приводит к доказательству (4,5).

Покроем наш овал цепью треугольников, состоящей из равновеликих треугольников, и рассмотрим соответствующий описанный -угольник и вписанный -угольник Приведенное выше доказательство показывает, что при свободном изменении описанного -угольнчка частное будет достигать максимума, если оба -угольника аффинно правильные и вершины совпадают с серединами сторон но это как раз и выражает наше неравенство (4,5).