ГЛАВА VI. НЕПРАВИЛЬНЫЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ НА СФЕРЕ

В главе V мы встретились с рядом экстремальных задач относительно систем точек на сфере, решения которых при соответствующем числе точек приводят к системе вершин правильных многогранников с треугольными гранями. Теперь встает интересный вопрос об определении в каком-либо смысле наилучшего расположения, например, семи точек на сфере. При этом нельзя рассчитывать, что даже в случае самой простой задачи такого рода, относящейся к произвольному числу точек, можно будет дать какие-нибудь общие предписания для определения экстремального расположения точек. Мы должны поэтому удовольствоваться методами, которые позволяют в конкретных задачах получить по крайней мере ряд первых экстремальных расположений. В этой главе мы с помощью изящного метода, указанного Шютте и Ван дер Варденом, определим плотнейшие расположения на сфере 7 и 8 равных (сферических) кругов.

§ 1. Граф, отвечающий заданной системе точек

Мы будем искать такое расположение точек единичной сферы, для которого наименьшее из расстояний между точками достигает наибольшей возможной величины Очевидно, . При мы введем в рассмотрение, кроме величины еще и угол равностороннего сферического треугольника с длиной стороны . Величины связаны между собой следующим соотношением

Имеет место следующее неравенство, эквивалентное :

которое для n = 3, 4, 6 и 12 дает точную оценку величины , а следовательно, и .

Обратимся теперь к определению величины и покажем, что

Обозначим точки буквами А, В, С, D и Е и предположим, что наименьшее из попарных расстояний между ними больше 90°. Так как круг с центром в Е радиуса 90° не содержит точек А, В, С, D, то эти точки все лежат на одной (открытой) полусфере. По аналогичной причине точки А, В, С расположены на (открытой) четверти сферы и А, В на открытом октанте, что противоречит предположению о том, что .

В дальнейшем мы ограничимся случаем при этом 90°.

Пусть на единичной сфере заданы какие-нибудь точек; наименьшее из попарных расстояний между точками пусть будет Если соединить каждые две из этих точек, расстояние между которыми точно равно а, дугой большого круга длины а, то мы получим некоторую сеть линий, которая образует граф, отвечающий этой системе точек. [Термин «граф» заимствован из топологии, см. Кёниг Число отрезков графа, которые сходятся в одной точке, назовем степенью соответствующей точки. Точки нулевой степени мы будем называть изолированными, все изолированные точки мы тоже будем причислять к нашему графу.

Очевидно, что никакие два отрезка графа не пересекаются. Действительно, если бы два отрезка АВ и CD имели общую точку S, то мы имели бы

что невозможно.

Рассмотрим подмножество Т, образованное m точками и m отрезками графа, такое, что в каждой точке сходятся точно два отрезка Т. Так как отрезки Т не могут пересекаться, то Т есть простая замкнутая ломаная, которая

Если одна из этих частей вовсе не содержит отрезков графа, то мы назовем ее -угольником графа.

Если все отрезки РА, РВ, графа, исходящие из точки Р, заключаются внутри определенного угла в 180°, то можно малым сдвигом точки Р добиться того, что расстояние этой точки от всех других точек станет больше а. Действительно, если сдвинуть Р перпендикулярно границе рассматриваемого угла в 180° в направлении внешней области этого угла, то все расстояния РА, РВ, станут больше а. Назовем эту операцию сдвигом в сторону точки Р.

Граф, в котором ни одну точку нельзя сдвинуть в сторону, мы назовем неприводимым. Неприводимый граф, кроме, быть может, изолированных точек, содержит лишь точки не ниже чем третьей степени. Многоугольники неприводимого графа все являются выпуклыми, так как в противном случае вершину многоугольника, угол при которой больше 180°, можно было бы сдвинуть в сторону.

Рассмотрим теперь максимальный граф, т. е. граф, отвечающий системе из точек, для которых наименьшее расстояние между точками достигает наибольшего возможного значения Мы утверждаем, что максимальный граф, отвечающий системе из семи или восьми точек, есть не содержащий изолированных точек неприводимый граф, все многоугольники которого являются треугольниками или четырехугольниками.

Если бы максимальный граф был приводим, то его можно было бы сделать неприводимым с помощью подходящих сдвигов в сторону его точек. Мы покажем, что неприводимый максимальный граф, отвечающий системе из 7 или 8 точек, не может содержать изолированных точек. Отсюда будет вытекать, что любой максимальный граф системы 7 или 8 точек есть неприводимый граф, не содержащий изолированных точек.

Рассмотрим систему восьми вершин вписанной в единичную сферу архимедовой антипризмы (3, 3, 3, 4) (рис. 103).

Элементарный расчет приводит к следующему выражению для наименьшего (сферического) расстояния между точками этой системы:

Следовательно, имеем .

Используем теперь известную теорему, которую Архимед принимал за аксиому и которая остается справедливой также и в сферической геометрии:

Если выпуклая фигура периметра L содержит другую выпуклую фигуру периметра, то причем равенство имеет место лишь в том случае, когда обе фигуры совпадают.

Отсюда получаем следующие оценки для периметра соответственно -угольника непроводимого максимального графа, отвечающего системе 7 или 8 точек:

из которых следует, что .

Рис. 103.

Наконец, изолированная точка неприводимого графа должна лежать внутри некоторого многоугольника графа. Так как, однако, расстояние каждой точки треугольника или четырехугольника с равными сторонами а по крайней мере от одной из его вершин меньше а, то неприводимый граф, который содержит только треугольники или четырехугольники, не может иметь изолированных точек. Этим завершается доказательство нашего утверждения.