§ 6. Теорема Эйлера о многогранниках

Рассмотрим сферу радиуса единицы и на ней какое-то конечное число полусфер, границы этих полусфер «экваторы» сферы — мы будем называть большими окружностями. Если пересечение D полусфер имеет внутренние точки, то D называется выпуклым сферическим многоугольником (это самое общее определение выпуклого сферического многоугольника).

Рис. 5.

Мы поставим перед собой прежде всего задачу об определении площади выпуклого сферического -угольника

Площадь сферического двуугольника, очевидно, равна

где а — угол двуугольника. Рассмотрим теперь сферический треугольник с углами (рис. 5) и три соответствующих сферических твуугольника, пересечение которых определяет треугольник , а также диаметрально противоположный треугольник и соответствующие ему двуугольники.

Рассмотренные шесть двуугольников покрывают троекратно, а остальную часть шаровой поверхности однократно, следовательно,

т. е.

Эта хорошо известная формула означает, что площадь сферического треугольника равна избытку суммы его углов над .

Отсюда немедленно вытекает, что площадь Г выпуклого сферического -угольника с углами равна:

С помощью формулы (2) можно просто доказать теорему Эйлера для выпуклого многогранника. Пусть Р — выпуклый многогранник с гранями, k ребрами и вершинами. Рассмотрим сферу Е единичного радиуса с центром во внутренней точке О многогранника Р и спроектируем поверхность многогранника Р из О на Е. Сферические многогранники, в которые проектируются грани Р, покрывают всю сферу Е. Применяя формулу (2) для каждого многоугольника в отдельности и суммируя полученные равенства, получим:

т. е.

Покажем теперь некоторые применения формулы Эйлера Обозначим число сторон граней многогранника соответственно через и число ребер, выходящих из каждой из вершин, - через тогда будем иметь:

Комбинируя эти неравенства с равенством (3), получим:

Отсюда получаем следующие важные неравенства, оценивающие среднее число с трон грани и среднее число выходящих из одной вершины ребер

Обозначим еще число треугольных, четырехугольных и т. д. граней многогранника через и число трехгранных, четырехгранных и т. д. углов его — через тогда, очевидно,

и, следовательно,

Сложив оба последних равенства и учитывая формулу (3), получим интересное соотношение

Отсюда следует, что не существует выпуклого многогранника, не имеющего ни треугольных граней, ни трехгранных вершин.

В качестве дальнейшего следствия теоремы Эйлера покажем, что среднее число сторон выпуклых многоугольников из которых можно сложить выпуклый многоугольник S, имеющий не больше шести сторон, не превосходит 6. Чтобы доказать это, обозначим числа сторон многоугольников через Многоугольники и S можно представлять себе как боковую поверхность вырожденного -гранного многогранника Р. При этом вершины 5, вообще говоря, нельзя причислять к вершинам Р; вершинами грани многогран

Обозначим число этих вершин через и числа вершин остальных граней многогранника Р через тогда согласно (6) будем иметь:

С другой стороны, в силу сделанного предположения о числе вершин S

Следовательно, имеем:

откуда вытекает неравенство, которое нам требуется доказать:

Равенство достигается только в том случае, если S есть шестиугольник и