ГЛАВА I. НЕСКОЛЬКО ТЕОРЕМ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

В этой главе собраны некоторые важные для дальнейшего предложения элементарной геометрии. Основное место здесь занимают довольно известные понятия и теоремы, которые включены в книгу лишь для большей полноты. Однако глава I содержит также и несколько более специальных предложений, к которым относятся, например, связанные с треугольником неравенства, составляющие содержание § 5; перенесениг этих предложений на случай пространства было бы достаточно интересно.

§ 1. Выпуклые фигуры

Плоское точечное множество Р называется выпуклым, если каждый отрезок, соединяющий две точки Р, принадлежит Р. Ограниченное, замкнутое, выпуклое плоское точечное множество, имеющее внутренние точки, мы будем называть выпуклой фигурой. Граничные точки выпуклой фигуры О составляют выпуклую кривую, которую иногда короче называют овалом. Прямая, которая содержит по крайней мере одну граничную точку G, но не содержит внутренних точек G, есть опорная прямая G; принадлежащая опорной прямой граничная точка G иногда называется опорной точкой. Если опорная прямая содержит единственную опорную точку G или если через опорную точку проходит единственная опорная прямая, то мы говорим о касательной, соответственно о точке касания.

Выпуклой оболочкой (наименьшей) произвольно заданного точечного множества М называется выпуклое точечное множество Р, которое содержит М, причем такое, что никакое отличное от Р выпуклое подмножество Р уже не содержит М,

Выпуклый многоугольник можно определить как выпуклую оболочку (минимум трех) компланарных, но не коллинеарных точек. Если все стороны и все углы выпуклого многоугольника раьны, то он называется правильным.

Выпуклый многоугольник Р вписан в выпуклую фигуру G, если вершины Р суть опорные точки G; аналогично выпуклый многоугольник Р описан около G, если стороны Р суть опорные прямые G. Наибольший круг, целиком заключающийся в области G, Называется вписанным кругом; наименьший круг, содержащий G внутри себя, называется описанным кругом. В то время как описанный круг у выпуклой фигуры может быть только один, вписанных кругов фигура может иметь много [1].

Совершенно аналогично можно определить выпуклое тело в пространстве, а также выпуклую поверхность, выпуклый многогранник, опорную плоскость и вписанный и описанный шары.

В дальнейшем мы будем иметь дело главным образом с выпуклыми фигурами или телами. Для них имеют смысл обычные понятия площади или объема, которые мы будем обозначать той же буквой, которой обозначим саму фигуру ил тело. Далее, каждая ограниченная выпуклая фигура (выпуклое тело) имеет определенный периметр (площадь поверхности), который мы будем обозначать той же буквой, что и выпуклую кривую, ограничивающую эту фигуру (выпуклую поверхность, ограничивающую тело).

Пересечение двух фигур (или тел) Т и U мы будем обозначать через TU. При этом число всегда означает величину площади (объема) пересечения фигур (тел) Т и в противоположность этому произведение площадей (объемов) Т и мы будем обозначать через

Мы определим еще параллельную оболочку ширины выпуклой фигуры Т как множество точек всех кругов радиуса , центры которых принадлежат Т. Имеет место следующая важная формула:

где L означает периметр Т.

Если Т — выпуклый многоугольник, то формула (1) почти очевидна. В этом случае параллельная оболочка состоит из следующих частей:

1) сам многоугольник Т;

2) прямоугольники высоты , построенные на сторонах Т; их общая площадь равна

3) секторы, из которых можно сложить целый круг радуса ; их общая площадь равна .

Отсюда уже следует, что наше утверждение справедливо и в общем случае, поскольку каждую выпуклую фигуру приближенно можно заменить выпуклым многоугольником.

Соответствующая формула для параллельной оболочки выпуклого тела V выгляд следующим образом:

Здесь F означает поверхность тела V, а так называемый интеграл средней кривизны.

Если тело V ограничено достаточно гладкой выпуклой поверхностью F, то

где — главные радиусы кривизны F в какой-то точке, a -элемент площади поверхности этой же точке [2]. Если же F, кроме того, имеет еще и «ребра», то к выписанному выше интегралу приходится прибавить дополнительный член

где а — угол при ребре, отвечающий элементу ребра т. е. угол, который образуют внешние нормали поверхностных элементов F, примыкающих к этому элементу ребра.

Если V есть выпуклый многогранник, то формулу (2) легко получить прямым подсчетом объема тела ; при этом величина М в формуле (2) будет иметь следующий смысл:

- длина ребра, а — угол при этом ребре, дополняющий двугранный угол многогранника до , и суммирование производится по всем ребрам.

Поэтому Штейнер предложил называть эту величину М для многогранника кривизной ребер (Kanterkriimmung)

Для того, чтобы вывести из справедливости формулы (2) для многогранника ее справедливость в общем случае, надо показать, что если последовательность выпуклых многогранников сходится (в каком-то определенном смысле) к заданной гладкой криволинейной поверхности, то кривизны ребер этих многогранников стремятся к интегралу средней кривизны поверхности. Мы не задержимся на доказательстве этого утверждения, так как оно нам нигде в последующем не понадобится. Однако мы считаем уместным упомянуть здесь о формуле (2), так как она показывает значение трех основных характеристик выпуклого тела, а именно объема V, поверхности F и интеграла средней кривизны М.