§ 5. Исторические замечания

Вопрос о плотнейшем решетчатом заполнении пространства произвольными, равными выпуклыми телами в связи с задачами физики был поставлен лордом Кельвином [1]. Минковский [1] рассматривал эту задачу в весьма общей постановке в -мерном пространстве и применял полученные результаты к доказательству глубоких теорем теории чисел. Задача о редчайшем решетчатом покрытии -мерного пространства сферами рассматривалась Вороным [1] и недавно Бамбахом и Давенпортом Ц]; однако в этом направлении пока не получены окончате чьные результаты ]1]. Как очень интересное введение в круг идей, связанный с понятием правильной точечной системы, следует упомянуть о названной в гл. II книге Гильберта и Кон-Фоссена [1]; см. также по этому поводу энциклопедическую статью Либиша — Шёнфлисса—Мюгге [1].

Название удвоенный сот» (Doppelwabe) впервые употребил Минковский, использовавший его для обозначения выпуклой оболочки двух равных гомотетичных кубов, имеющих в точности одну общую вершину. Этот многогранник не тождественен с тем, который мы назвали тем же именем.

Оценки плотности не решетчатого заполнения и покрытия -мерного пространства сферами были указаны Блихфельдтом [1]. Раикиным [1], Леккеркеркером [1] и Главкой . В работе Главки имеются также другие общие теоремы относительно заполнения и покрытия -мерного пространства равными и гомотетичными выпуклыми телами. Задаче о плотнейшей упаковке сфер в обычном пространстве посвящены еще статьи Супника [1], Бёрдьика [1], Уайза m и Хадвигера .

Результаты § 2 и 3 содержатся в работах [7, 14, 34] автора. Метод, который приводит к оценке (4,2), предложен Хадвигером [2]; однако первоначально он употреблят неудачный замещающий многогранник. По инициативе автора, который указал ему на усеченный октаэдр, Хадвигер получил позднее существенно лучшую оценку (4,2).

Разбиение пространства на выпуклые многогранники можно рассматривать как вырожденный четырехмерный политоп (четырехмерный многогранник).

Что же вообще можно ожидать в связи с различными экстремальными задачами, относящимися к четырехмерным или многомерным политопам? Разбиения пространства на ромбододекаэдры или усеченные октаэдры не представляют собой правильных политопов. Насколько же связаны правильные политопы с решениями экстремальных задач?

Многомерные аналоги правильного тетраэдра, октаэдра и гексаэдра (куба) обладают многими легко устанавливаемыми экстремальными свойствами. Так, например, так называемый правильный симплекс имеет наибольший объем среди всех симплексов, вписанных в данный -мерный шар и наименьший объем среди всех симплексов, описанных около шара, откуда следует, что радиусы описанного и вписанного шара -мерного симплекса связаны неравенством . Известно, что, кроме упомянутых «тривиальных» правильных политопов, существуют еще только три невырожденных правильных политопа, причем все три — лишь в четырехмерном пространстве; они обозначаются символами Шлефли: . До сих пор неизвестны никакие экстремальные свойства этих правильных политопов [1,в].

Рассмотрим такое расположение k точек поверхности единичной сферы -мерного пространства, при котором наименьшее расстояние между точками достигает максимума Имеет место равенство выражающее экстремальное свойство -мерного аналога правильного октаэдра. Мы видели, что экстремальное расположение 5 точек на поверхности сферы трехмерного пространства не определяется однозначно и что Подобное положение имеет место также в многомерном случае. Как заметили независимо друг от друга Давенпорт и Хайош [1] имеет место даже равенство

Обозначим через то наибольшее значение k, для которого это есть наибольшее число точек, которое можно так расположить на единичной сфере -мерного пространства, чтобы расстояние между каждыми двумя точками было не меньше 1. Известно, что Согласно еще не опубликованным результатам Рождерса Существует ли предел и, если существует, то чему он равен?

На эти вопросы мы пока еще не имеем ответа [180].

Вообще задачи о расположениях в пространстве кажутся трудно доступными. Поэтому как на ближайшую область исследований здесь можно указать на те задачи подобного рода, в которых допустимые расположения с самого начала подчиняются определенным условиям регулярности; в первую очередь здесь следует рассмотреть решетки фигур: Мы укажем здесь одну конкретную задачу.

Рассмотрим решетку кругов с данной плотностью которая лучше всего покрывает плоскость. Здесь центры кругов образуют решетку равносторонних треугольников; поэтому центры различных систем кругов, отвечающих всевозможным значениям D, можно считать неподвижными и лишь радиусы кругов — переменными. В аналогичной пространственной задаче положение дела оказывается совершенно другим, так как здесь центры сфер должны изменяться, переходя от гранецентрированной кубической решетки к пространственно центрированной кубической решетке. Как осуществляется этот переход? Мы не знаем даже переходят ли эти две точечные решетки одна в другую непрерывно или скачками.