Главная > Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 5. Исторические замечания

Вопрос о плотнейшем решетчатом заполнении пространства произвольными, равными выпуклыми телами в связи с задачами физики был поставлен лордом Кельвином [1]. Минковский [1] рассматривал эту задачу в весьма общей постановке в -мерном пространстве и применял полученные результаты к доказательству глубоких теорем теории чисел. Задача о редчайшем решетчатом покрытии -мерного пространства сферами рассматривалась Вороным [1] и недавно Бамбахом и Давенпортом Ц]; однако в этом направлении пока не получены окончате чьные результаты ]1]. Как очень интересное введение в круг идей, связанный с понятием правильной точечной системы, следует упомянуть о названной в гл. II книге Гильберта и Кон-Фоссена [1]; см. также по этому поводу энциклопедическую статью Либиша — Шёнфлисса—Мюгге [1].

Название удвоенный сот» (Doppelwabe) впервые употребил Минковский, использовавший его для обозначения выпуклой оболочки двух равных гомотетичных кубов, имеющих в точности одну общую вершину. Этот многогранник не тождественен с тем, который мы назвали тем же именем.

Оценки плотности не решетчатого заполнения и покрытия -мерного пространства сферами были указаны Блихфельдтом [1]. Раикиным [1], Леккеркеркером [1] и Главкой . В работе Главки имеются также другие общие теоремы относительно заполнения и покрытия -мерного пространства равными и гомотетичными выпуклыми телами. Задаче о плотнейшей упаковке сфер в обычном пространстве посвящены еще статьи Супника [1], Бёрдьика [1], Уайза m и Хадвигера .

Результаты § 2 и 3 содержатся в работах [7, 14, 34] автора. Метод, который приводит к оценке (4,2), предложен Хадвигером [2]; однако первоначально он употреблят неудачный замещающий многогранник. По инициативе автора, который указал ему на усеченный октаэдр, Хадвигер получил позднее существенно лучшую оценку (4,2).

Разбиение пространства на выпуклые многогранники можно рассматривать как вырожденный четырехмерный политоп (четырехмерный многогранник).

Что же вообще можно ожидать в связи с различными экстремальными задачами, относящимися к четырехмерным или многомерным политопам? Разбиения пространства на ромбододекаэдры или усеченные октаэдры не представляют собой правильных политопов. Насколько же связаны правильные политопы с решениями экстремальных задач?

Многомерные аналоги правильного тетраэдра, октаэдра и гексаэдра (куба) обладают многими легко устанавливаемыми экстремальными свойствами. Так, например, так называемый правильный симплекс имеет наибольший объем среди всех симплексов, вписанных в данный -мерный шар и наименьший объем среди всех симплексов, описанных около шара, откуда следует, что радиусы описанного и вписанного шара -мерного симплекса связаны неравенством . Известно, что, кроме упомянутых «тривиальных» правильных политопов, существуют еще только три невырожденных правильных политопа, причем все три — лишь в четырехмерном пространстве; они обозначаются символами Шлефли: . До сих пор неизвестны никакие экстремальные свойства этих правильных политопов [1,в].

Рассмотрим такое расположение k точек поверхности единичной сферы -мерного пространства, при котором наименьшее расстояние между точками достигает максимума Имеет место равенство выражающее экстремальное свойство -мерного аналога правильного октаэдра. Мы видели, что экстремальное расположение 5 точек на поверхности сферы трехмерного пространства не определяется однозначно и что Подобное положение имеет место также в многомерном случае. Как заметили независимо друг от друга Давенпорт и Хайош [1] имеет место даже равенство

Обозначим через то наибольшее значение k, для которого это есть наибольшее число точек, которое можно так расположить на единичной сфере -мерного пространства, чтобы расстояние между каждыми двумя точками было не меньше 1. Известно, что Согласно еще не опубликованным результатам Рождерса Существует ли предел и, если существует, то чему он равен?

На эти вопросы мы пока еще не имеем ответа [180].

Вообще задачи о расположениях в пространстве кажутся трудно доступными. Поэтому как на ближайшую область исследований здесь можно указать на те задачи подобного рода, в которых допустимые расположения с самого начала подчиняются определенным условиям регулярности; в первую очередь здесь следует рассмотреть решетки фигур: Мы укажем здесь одну конкретную задачу.

Рассмотрим решетку кругов с данной плотностью которая лучше всего покрывает плоскость. Здесь центры кругов образуют решетку равносторонних треугольников; поэтому центры различных систем кругов, отвечающих всевозможным значениям D, можно считать неподвижными и лишь радиусы кругов — переменными. В аналогичной пространственной задаче положение дела оказывается совершенно другим, так как здесь центры сфер должны изменяться, переходя от гранецентрированной кубической решетки к пространственно центрированной кубической решетке. Как осуществляется этот переход? Мы не знаем даже переходят ли эти две точечные решетки одна в другую непрерывно или скачками.

1
Оглавление
email@scask.ru