§ 8. Полярные треугольники, круг Лекселля

Сопоставим каждому сферическому треугольнику новый треугольник АВС, где точка А есть полюс большой окружности ВС, сферическое расстояние которого от и аналогично определены точки В и С. Треугольник называют полярным по отношению к треугольнику .

Покажем, что треугольник полярный по отношению к совпадает с первоначальным треугольником . Достаточно показать, что точка А есть тот полюс большой окружности ВС, сферическое расстояние которого от По определению точек В и С имеем Следовательно, точка А есть полюс ВС, и в силу определения А, именно тот, для которого .

Если обозначить стороны и углы треугольников , как обычно, буквами , соответственно то

Одного взгляда на рис. 39 достаточно, чтобы сделать очевидным соотношение . Отсюда в силу отмеченной выше взаимности полярных треугольников счедует также и равенство

Применим теперь понятие полярного треугольника к доказательству замечательной теоремы Лекселля. Рассмотрим сферический треугольник с фиксированным основанием АВ и будем двигать вершину С так, чтобы площадь треугольника не изменилась.

Какое геометрическое место опишет в этом случае точка С? Ответ содержится в следующей теореме Лекселля.

Рис. 39.

Рис. 40.

Геометрическое место таких точек С, что площадь сферического треугольника ABC, где точки А и В фиксированы, постоянна, есть дуга окружности АВ, концы А и В ко порой диаметрально противоположны точкам А а В.

Для доказательства рассмотрим треугольник полярный по отношению к ABC (рис. 40).

Если двигать вершину С, как указано выше, то большие окружности, содержащие стороны а и b, останутся неподвижными, в то время как сторона с будет изменяться таким образом, что периметр треугольника Д остается постоянным. Если обозначить вневписанную окружность треугольника Д, касающуюся стороны с и продолжений двух других сторон, через К и точки соприкосновения больших окружностей, содержащих стороны а, b и с, с окружностью К через А, В и С, то периметр равен

т. е. он не зависит от точки С соприкосновения К с с. Следовательно, сторона с изменяется так, что точка С пробегает дугу АВ окружности К? Отсюда следует, что точка С—полюс большого круга АВ — описывает тоже дугу окружности. Концы этой дуги совпадают с какими-то полюсами больших кругов СВ и СА, т. е. с А или А и с В или В. Но так как точки А и В не принадлежат рассматриваемому геометрическому месту точек С, то остаются возможными только точки А и В, чем и завершается доказательство.

Заметим еще, что, например, в предельном случае треугольник вырождается в сферический двуугольник.