§ 2. Центрально-симметричные фигуры

Докажем сначала следующую теорему:

Если есть плотность редчайшей покрывающей решетки центрально-симметричной выпуклой фигуры М, то

равенство здесь достигается в том и только в том случае, когда М — эллипс.

Эта теорема решает в основном упомянутую во введении к этой главе вторую основную задачу для случая центрально-симметричной фигуры: при помощи каждой центрально-симметричной выпуклой фигуры, не являющейся эллипсом, можно более экономно покрыть плоскость, чем при помощи кругов. После этого остается еще только разобрать вопрос о единственности соответствующей экстремальной задачи, т. е. показать, что эллипсы действительно являются экстремальными фигурами. Для этого надо доказать, что редчайшее покрытие плоскости равными эллипсами обязательно должно быть решетчатым; рассуждения § 10 гл. III делают этот результат весьма правдоподобным.

То, что в соотношении (1) для эллипса достигается равенство, очевидно Поэтому достаточно показать, что из неэллиптических центрально-симметричных выпуклых фигур можно образовать покрывающую решетку с плотностью, меньшей

Это, однако, непосредственно следует из построения Саса (§ 4, гл. II), позволяющего вписать в неэллиптическую центрально-симметричную выпуклую фигуру М центрально-симметричный шестиугольник площади, большей М; искомое решетчатое покрытие плоскости получается в процессе замощения плоскости такими шестиугольниками

Обратимся теперь к двойственной задаче: для какой из центрально-симметричных выпуклых фигур плотнейшая разделенная решетка является наиболее редкой?

Напрашивающееся предположение, что экстремальной фигурой и здесь является эллипс, было опровергнуто Рейнгардтом [1] и Малером [1]. А именно, они указали на тот замечательный факт, что можно найти центрально-симметричную выпуклую фигуру М, для которой плотность плотнейшей разделенной решетки меньше . Малер показал, что такой фигурой является, например, правильный восьмиугольник А, для которого эта плотность равна

Исследования Рейнгардта и Малера заставляют предположить, что экстремальной фигурой является сглаженный восьмиугольник, который получается из аффинно правильного восьмиугольника, если закруглить каждую вершину с помощью гиперболы, касающейся обеих смежных сторон и имеющей асимптотами стороны, смежные к этим последним (рис. 94). Если это предположение верно, то для произвольной центрально-симметричной выпуклой фигуры М

причем равенство достигается только в том случае, если М есть сглаженный восьмиугольник. Доказательство этого предположения решило бы (в силу результатов § 10 гл III) для центрально-симметричных фигур также и первую основную задачу, сформулированную во введении к этой главе.

Укажем теперь следующий более слабый результат, который зато можно получить с помощью совсем элементарных и простых рассуждений:

Для каждой центрально-симметричной выпуклой фигуры можно построить разделенную решетку, плотность которой

Стоящая справа постоянная всего лишь приблизительно на меньше, чем предполагаемая наилучшая постоянная

Пусть М — заданная выпуклая фигура с центром Она и b — два пока произвольных, линейно независимых вектора

Рис. 91.

Обозначим, как всегда и выберем а и b так, чтобы каждые две из фигур имели общие граничные точки, но не имели общих внутренних точек. Это всегда возможно; при этом направление вектора а можно еще свободно выбирать. Решетка, определяемая этими векторами, очевидно, является разделенной

Рассмотрим теперь аффинно правильный шестиугольник а также гомотетичный ему вписанный в М шестиугольник S (рис. 95). Разобьем S на шесть (равновеликих) треугольников с общей вершиной

Так как основной параллелограмм решетки составлен из восьми (равновеликих ранее рассмотренном) треугольников, то . Следовательно, плотность рассматриваемой решетки фигур равна

Но поэтому при любом выборе направления а плотность не меньше

Выберем теперь направление а так, чтобы площадь S была наименьшей.

Рис. 95.

Так как отношение площадей сохраняется при аффинных преобразованиях, то мы можем считать, что минимальный шестиугольник правильный. Выберем прямоугольную систему координат х, у так, чтобы начало координат совпало с точкой О, а единичная точка оси (рис. 96). М содержит также второй аффинно правильный шестиугольник с тем же центром О, такой что и вершина шестиугольника S принадлежит оси

При этом все вершины S лежат вне шестиугольника и наоборот [101].

Выпуклую оболочку шестиугольников S и S обозначим через И. Если сдвинуть отрезки вдоль прямых, на которых они лежат, так, чтобы эти отрезки стали симметричны относительно оси у, то площадь Н не изменится; поэтому мы можем считать, что ось у является осью симметрии для .

Рис. 96.

Положим [102]; в этом случае условие можно будет записать в виде

Теперь имеем где и - треугольники Так как нормальное уравнение прямой имеет вид

то расстояние от точки до этой прямой равно Учитывая, что получаем:

Равенство в обоих последних неравенствах достигается только в том случае, если , т. е. если Н есть правильный двенадцатиугольник. В этом случае, однако, так как иначе не будет наименьшим аффинно правильным шестиугольником, вписанным в Следовательно, во всяком случае, и вследствие этого

что и требовалось доказать.

Заметим еще, что замощение плоскости равными экземплярами шестиугольника приводит к покрывающей решетке плотности В силу равенства (3) отсюда вытекает следующая точная оценка:

имеющая место для каждой центрально-симметричной выпуклой фигуры М.