§ 4. Изопериметрическая задача

Какая из плоских фигур одинакового периметра (такие фигуры мы будем называть изопериметрическими), имеет наибольшую площадь? Решением этой классической задачи, называемой изопериметрической задачей, является круг.

По-другому это можно выразить так; если L есть периметр плоской фигуры F, то

причем равенство достигается только в случае круга.

Из этой основной задачи можно получить множество других задач; для этого надо только наложить на рассматриваемые фигуры те или иные дополнительные условия. Ниже мы рассмотрим изопериметрическую задачу для -угольника. Другими словами, мы рассмотрим совокупность всех многоугольников одного периметра, имеющих не более вершин, и зададимся вопросом о том, какой из этих многоугольников имеет наибольшую площадь.

Мы набросаем здесь сначала косвенное доказательство того, что наилучшим -угольником в этой задаче является правильный. Это доказательство имеет то преимущество, что оно легко переносится также и на аналогичную задачу сферической геометрии.

Очевидно, что мы можем с самого начала ограничиться лишь выпуклыми многоугольниками, так как при замене невыпуклого многоугольника его выпуклой оболочкой периметр уменьшается, а площадь, напротив того, увеличивается; так же и число вершин многоугольника при этом уменьшается. После того как (в силу теоремы Вейерштрасса!) установлено существование наилучшего -угольника Р, можно легко показать, что в каждой вершине Р биссектриса внешнего угла параллельна прямой, соединяющей две вершины многоугольника, смежные с рассматриваемой; действительно, в противном случае Р можно было бы улучшить при помощи подходящего сдвига соответствующей вершины. Отсюда следует, что стороны наилучшего -угольника должны быть равной длины. Легко также усмотреть, что круг, который касается стороны АВ многоугольника Р и продолжений двух смежных с АВ сторон, должен касаться отрезка АВ в его середине. Отсюда следует, что углы Р также должны быть равны, что и доказывает наше утверждение.

Полученный результат можно выразить неравенством

где -периметр и -плошадь любого -угольника; равенство в (2) достигается только для случая правильного -угольника.

Нижеследующее прямое доказательство даст нам важное усиление этого результата. Пусть F — произвольно заданный выпуклый -угольник периметра L, радиус вписанного круга которого равен . Рассмотрим тот описанный вокруг единичного круга -угольник направления внешних нормалей к сторонам которого совпадают с направлениями внешних нормалей к соответствующим сторонам -угольника F. Мы покажем, что

Это неравенство можно преобразовать следующим образом:

Отсюда вытекает следующее замечательное неравенство, впервые доказанное Люилье:

причем равенство имеет место только для многоугольника, описанного около круга; оно означает, что среди выпуклых многоугольников, имеющих заданные направления внешних нормалей к сторонам, многоугольники, описанные около круга, имеют наименьшую величину отношения

Обозначим углы между внешними нормалями к смежным сторонам многоугольника через тогда

Следовательно, неравенство Люилье можно записать следующим образом:

Далее, из (3) следует (так как )

или, что эквивалентно этому,

Из этого усиленного изопериметрического неравенства вытекает справедливость аналогичного неравенства (в котором лишь знак следует заменить на для произвольной выпуклой фигуры, отсюда непосредственно следует, что в первоначальном изопериметрическом неравенстве (1) равенство может достигаться только для круга.

Для доказательства (3) сдвинем каждую сторону многоугольника параллельно самой себе внутрь на расстояние и обозначим многоугольник, образованный полученными прямыми через

Рис. 3.

Исследуем, как изменяется многоугольник который можно назвать внутренней параллельной оболочкой F (ср. выше, стр. 18), когда а растет от 0 до (рис. 3).

Для малых значений а углы двигаются по внутренним биссектрисам многоугольника каждая сторона при этом уменьшается и при определенном значении а она стягивается в точку. Начиная с этого «критического» значения а, будет уже иметь меньшее число сторон; наконец, для значения многоугольник стянется в «ядро» многоугольника F, которое есть не что иное, как множество центров вписанных кругов F и, следовательно, вообще говоря, представтяет собой точку, хотя в некоторых особых случаях (например, в случае прямоугольника) может являться также и отрезком.

Многоугольники отвечающие «критическим» значениям а, разбизают совокупность параллельных оболочек на отдельные пласты. Многоугольники, принадлежащие одному и тому же пласту, имеют одинаковое число сторон. Пусть — два многоугольника одного и того же пласта: Обозначим численные характеристики многоугольников теми же буквами, что и для F, но с соответствующими индексами; тогда мы будем иметь

Отсюда следует

и стало быть, величина для всех многоугольников одного пласта будет одна и та же.

Заметим теперь, что есть ступенчатая возрастающая функция а. Внутри птаста эта функция остается постоянной; когда мы переход от одного пласта к следующему пласту, то одна сторона многоугольника пропадает и, значит, величина увеличивается. Так как, далее, F, L и суть непрерывные функции а, то есть ступенчатая убывающая функция от а. Так как величина функции для а т. е. для «ядра» равна нулю, то для исходного многоугольника F она не может быть отрицательной. Это и доказывает наше утверждение.