§ 10. О сумме длин ребер многогранника

Рассуждения, аналогичные приведенным в предыдущих параграфах и в § 9 гл. III, приводят к следующей теореме [141]:

Если выпуклый -гранник с площадью поверхности F имеет равновеликие грани, то сумма длин его ребер

Равенство здесь достигается только для правильного многогранника с трехранными углами.

Комбинируя неравенство (1) с (эквивалентным (4,2)) неравенством

относящимся к площади поверхности F -гранника, содержащего внутри себя единичный шар, получим, что сумма длин ребер выпуклого -гранника с равновеликими гранями, содержащего внутри себя единичный шар,

Если обозначить стоящую справа величину через , то будем иметь . Так как, далее, , то можно предположить, что достигает минимума при Чтобы убедиться в этом, заметим, что, так как

Величина, стоящая справа, для больше, чем 24, так что остается только найти численную величину для всех .

Если вместо единичного шара рассмотреть шар заданного диаметра, то полученный результат можно будет выразить следующим образом:

Если выпуклый многогранник с равновеликими гранями содержит шар диаметра D, то сумма длин ребер

где равенство достигается только для куба с ребром

Можно предположить, что эта теорема остается справедливой и в том случае, если не требовать, чтобы все грани многогранника были равновелики; однако в этом общем случае доказательство ее представляется затруднительным [142]. Напротив, легко показать, что сумма длин ребер выпуклого многогранника, содержащего внутри себя шар диаметра

Для доказательства положим и рассмотрим грань Т многогранника, периметр которой равен U. Если обозначить центральную проекцию Т на сферу через , то площадь Т не может быть меньше, чем площадь того круга, который получается при центральном проектировании сферического круга площади на касательную плоскость шара, касающуюся центра этого круга . Следовательно, в силу изопериметрического свойства круга, U не может быть меньше, чем периметр рассматриваемого круга. Это обстоятельство можно выразить неравенством

(Равенство здесь, естественно, не может достигаться, так как Т не может быть кругом.)

Воспользуемся теперь тем, что кривая

лежит выше своей касательной, проходящей через начало координат (рис. 101).

Рис. 101.

Отсюда с помощью простого вычисления получаем, что . Следовательно, имеем:

что и требовалось доказать.

Здесь наиболее интересно то, что в противоположность всем рассматриваемым раньше предложениям мы не задаем ни число вершин, ни число граней и ищем экстремальный многогранник, т. е. многогранник, для которого отношение принимает наименьшее возможное значение, среди всех выпуклых многогранников. Куб представляется в этом смысле абсолютно наилучшим многогранником.

Обратимся теперь к другой аналогичной задаче и покажем, что сумма длин ребер многогранника с треугольными гранями, диаметр вписанного шара которого равен

При решении соответствующей экстремальной задачи не приходится рассчитывать на единственность, так как здесь, вероятно, наилучшими многогранниками являются правильные тетраэдр и октаэдр. Сравнен постоянной 14 с общей величиной 6614,7 отношения для тетраэдра и октаэдра показывает, что наша оценка является довольно точной.

Доказательство здесь проходит аналогично ранее разобранным задачам Будем изменять треугольную грань Т при условии постоянства площади проекции так, чтобы плоскость этой грани не пересекала единичный шар; Т при этом достигнет минимума для правильного треугольника, касающегося шара в своем центре. В силу изопериметричного свойства правильного треугольника также и периметр U грани Т не может быть меньше, чем периметр рассматриваемого треугольника. Мы имеем поэтому:

откуда с помощью элементарного подсчета получаем . Следовательно,

что и требовалось доказать.

Попытаемся теперь оценить снизу сумму длин ребер или, более обще, сумму одинаковых степеней длин ребер, в зависимости от наименьшего из диаметров вписанных кругов граней многогранника.

Пусть d есть диаметр наименьшего из вписанных кругов граней выпуклого многогранника с ребрами

Если обозначить через , то

Равенство в первом соотношении достигается лишь для правильного тетраэдра, во втором — для куба и в третьем — для додекаэдра.

Доказательство всех трех неравенств проходит совершенно аналогично. Мы ограничимся доказательством второго неравенства.

Рассмотрим грань многогранника с центром О вписанного круга и сторону L этой грани. Если обозначим центральный угол, опирающийся на сторону через , то имеем . Всего имеется таких неравенств. Если сложить их все, то получим справа удвоенную сумму квадратов ребер; поэтому

где означает число граней многогранника [144]. Отсюда в силу имеем:

Численный расчет показывает, однако, что при . Для имеем также Следовательно, для каждого числа граней что и требовалось доказать.

Причина того, что в третьем неравенстве мы рассматриваем не целочисленный показатель, заключается в том, что для четвертой степени соответствующая функция достигает своего минимума при а для пятой при Следовательно, например, для показателя 5 наши рассуждения приводят только к неравенству в то время как для додекаэдра

Несмотря на это, вероятно, справедливо также неравенство . Во всяком случае, мы имеем, если и не лучшую, то хорошую оценку .

В заключение упомянем еще неравенство

где — радиусы вписанных кругов граней совершенно произвольного -гранник, площадь поверхности которого равна F и число ребер есть k. Равенство достигается здесь только в том случае, когда грани суть равные правильные многоугольники, что, естественно, может иметь место не только для правильных тел . Для односвязного многогранника, удовлетворяющего теореме Эйлера, отсюда вытекает неравенство

переходящее в равенство только в случае правильного многогранника с трехгранными вершинами. Из этого последнего неравенства можно далее вывести, что

Это неравенство находится в тесной аналогии с (111,7,5). Доказательство его аналогично доказательству (111,7,5).