Главная > Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Аффинное преобразование и полярное преобразование

Пусть О — фиксированная точка плоскости и А — заданное положительное число. Сопоставим каждой точке Р плоскости такую точку Р луча ОР, что . Полученное отображение плоскости на себя называется (подобным) сжатием к точке О или гомотетией. Две фигуры, которые можно перевести друг в друга сжатием к точке (гомотетией) или параллельным перенесением, называются гомотетичными. Общее преобразование подобия складывается из сжатия к точке и последующего движения.

Заменим теперь точку О прямой g. Сопоставим каждой точке Р плоскости следующую точку Р: F есть ортогональная проекция Р на g, и Р — такая точка луча FP, что . Это преобразование называется (аффинным) сжатием к прямой g. Общее аффинное преобразование складывается из сжатия к прямой и последующего преобразования подобия.

Аналогичным образом можно определить и в пространстве подобное сжатие к точке, общее преобразование подобия, (аффинное) сжатие к плоскости и, наконец, общее аффинное преобразование, складывающееся из двух последовательных сжатий к двум плоскостям и из преобразования подобия.

Окружность переходит при аффинном преобразовании в эллипс, шар в эллипсоид. Прямая переходит при аффинном преобразовании снова в прямую и плоскость опять в плоскость. Кроме того, при аффинном преобразовании сохраняется параллельность двух прямых (или плоскостей), отношение двух параллельных отрезков и отношение площадей двух фигур (объемов двух тел). Отсюда следует, что центр тяжести фигуры (или тела) переходит в центр тяжести преобразованной фигуры (тела) и что аффинное преобразование, которое переводит какую-либо фигуру в равновеликую фигуру (или тело — в равновеликое тело) сохраняет площадь (объем) любой фигуры (любого тела). Если — два любых треугольника (или тетраэдра), то существует единственное аффинное преобразование, которое переводит в [4].

Многоугольник, который получается аффинным преобразованием из правильного многоугольника, мы будем называть аффинно правильным. Аффинно правильный -угольник можно представлять себе как результат параллельного проектирования правильного -угольника на другую плоскость.

Другим важным преобразованием, которым мы в дальнейшем будем пользоваться, является полярное преобразование относительно окружности (или шара). Пусть К есть окружность (шар) с центром О и радиусом г. Полярное преобразование относительно К переводит каждую отличную от О точку Р плоскости (пространства) в ту прямую (плоскость) , которая перпендикулярна к лучу ОР и пересекает этот луч в точке Р, такой, что Обратно, это преобразование переводит каждую прямую (плоскость) , не проходящую через О, в точку Р, образом которой является .

Важнейшее свойство полярного преобразования заключается в том, что оно переводит инцидентные точки и прямые (точки и плоскостл) в инцидентные прямые и точки (плоскости и точки). Отсюда следует, например, что при полярном преобразовании плоскостл точка пересечения двух прямых переходит в прямую, соединяющую две точки образы этих прямых. Следовательно, многоугольник (многогранник) переходит полярном преобразовании в новый многоугольник (многогранник), причем вершины одного многоугольника (многогранника) переходят в стороны (грани) другого.

Далее, полярное преобразование переводит коническое сечение снова в коническое сечение в том смысле, что точки одного конического сечения переходят в касательные другого, — это есть один из основных фактов проективной геометрии. Аналогично при полярном преобразовании в пространстве невырожденная поверхность второго порядка переход в подобную же поверхность [5].

Мы докажем теперь следующее вспомогательное предложение, которое будет использовано в дальнейшем.

Если при полярном преобразовании относительно единичного шара эллипсоиды Е и Е переходят один в другой, то

причем равенство достигается в том и только в том случае, когда центры эллипсоидов Е и Е совпадают с центром единичного шара, относительно которого производится преобразование.

Для доказательства рассмотрим прямоугольную систему координат, начало О которой совпадает с центром единичного шара и оси параллельны осям эллипсоида Е. Так как эллипсоид переходит снова в эллипсоид, т. е. в ограниченное тело, то Е должен заключать внутри себя начало координат О, так как иначе касательной плоскости Е, проходящей через О, соответствовала бы «бесконечно удаленная» точка Е. Поэтому, если мы обозначили координаты центра Е через и то должно быть

Рассмотрим теперь касательные плоскости Е в концах его оси длины . Этим плоскостям отвечают две точки Е, лежащие на оси и удаленные друг от друга на расстояние

Повторив это рассуждение для осей эллипсоида Е длины мы получим, что эллипсоид Е имеет три взаимноперпендикулярные хорды, длины которых не меньше . Диаметры Е, параллельные этим хордам (т. е. координатным осям) имеют длины , так как они не могут быть меньше рассматриваемых хорд, то

Обозначим теперь через Е тот из эллипсоидов с диаметрами АА, ВВ и СС, который имеет наименьший объем. Мы утверждаем, что главные оси совпадают с АА, ВВ и СС. Действительно, в противном случае касательная плоскость Е в точке А не будет параллельна плоскости ВВСС. Тогда можно заменить диаметр АА эллипсоида Е новым диаметром DD. так, чтобы объем выпуклой оболочки Н отрезков DD, ВВ и СС был больше, чем объем выпуклой оболочки Н отрезков АА, ВВ и СС. Рассмотрим теперь аффинное преобразование, переводящее октаэдр Н в Н. Так как аффинное преобразование сохраняет отношение объемов и то такое преобразование переводит эллипсоид Е в меньший. Это противоречит, однако, предположению о том, что эллипсоид Е — минимальный.

Итак, мы имеем:

чем и доказано неравенство (1). Равенство может достигаться только в том случае, если т. е. если центр эллипсоида Е (а следовательно, и центр Е) совпадает с центром единичного шара. То, что в этом счучае равенство действительно имеет место, совершенно ясно.

1
Оглавление
email@scask.ru