§ 7. Правильные и полуправильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани правильные и все многогранные углы правильные. При этом многогранный угол Е называется правильным, если отвечающий ему сферический многоугольник, т. е. многоугольник, который высекается гранями Е на сфере с центром в вершине Е, является правильным. Равенство всех граней и всех углов правильного многогранника есть простое следствие вышеупомянутого определения.

Л. Шлефли предложил обозначать правильный многогранник с -угольными гранями и -гранными углами символом . Так как в силу формулы (6,8) или или q должно равняться 3, а из формул (6,6), (6,7) вытекает, что ни ни q не могут превосходить S, то остается рассмотреть лишь следующие комбинации: и (5,3). Легко показать, что все эти возможности действительно реализуются. Таким образом, имеется 5 и только 5 правильных многогранников, которые соответственно числу граней называются: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр (рис. 6—10).

Правильные многогранники переходят друг в друга при полярном преобразовании относительно вписанного или описанного шара. Поэтому говорят, что тетраэдр двойственен сам себе, гексаэдр — октаэдру и додекаэдр — икосаэдру.

Семейство правильных многогранников целесообразно дополнить еще вырожденными правильными многогранниками. Можно считать, что символам (3,6), (4,4) и (6,3) отвечают правильные покрытия плоскости соответственно правильными треугольниками, четырехугольниками и шестиугольниками — «многогранники» с бесконечным числом граней, ограниченные треугольниками, четырехугольниками или шестиугольниками, в каждой вершине которых сходятся соответственно 6, 4 или 3 грани (рис. 11-13). Кроме того, рассмотрим так называемый диэдр и двойственный ему «многогранник» с символом имеющий двуугольных граней. Эти «многогранники» лучше всего представлять себе с помощью отвечающих им сетям дуг больших окружностей на сфере (рис. 14 и 15).

Познакомимся теперь еще с другими интересными многогранниками. Архимедовыми многогранниками называются выпуклые многогранники, гранями которых являются правильные многоугольники (может быть различные), а многогранные углы все равны (но не обязательно правильны). Каждому архимедову многограннику полярное преобразование сопоставляет многогранник с правильными углами и равными, но не обязательно правильными гранями [18]. Архимедовы и двойственные им многогранники вместе составляют класс полуправилъных многогранников. Этот класс распадается на два семейства — семейство равноугольных (архимедовых) многогранников и семейство равногранных многогранников. Мы будем здесь заниматься только равноугольными многогранниками.

Архимедовы многогранники лишь в том случае не будут правильными, если не все их грани равны. При этом могут встречаться грани двух или трех разных видов.

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

Рис. 9.

Рис. 10.

Рис. 11.

Рис. 12.

Рис. 13.

Рис. 14.

Рис. 15.

Больше чем три вида граней архимедов многогранник иметь не может, так как в противном случае в одной вершине сходятся

4 разных правильных многоугольника, и сумма плоских углов многогранного угла будет не меньше , что невозможно. Аналогично, из неравенства 380° следует, что в каждой вершине могут сходиться не больше пяти граней и, следовательно, также и не больше пяти ребер.

Подробное обсуждение полуправильных многогранников имеется, например, в книге Брюкнера [1].

Мы здесь приведем лишь простое перечисление архимедовых многогранников, которые мы будем обозначать символами или (см. таблицу).

При этом, например, символ обозначает тот архимедов многогранник, в вершинах которого сходятся в заданной циклической последовательности -угольник, -угольник и -угольник.

Наша таблица содержит, кроме 16 собственно архимедовых многогранников, также 8 вырожденных многогранников. Эти последние представляют собой такие замощения (паркетажи) плоскости правильными многоугольниками двух или трех разных типов, при которых все вершины замощения конгруентны. Для этих замощений числа углов, ребер и вершин следует считать бесконечными.

Невырожденные архимедовы многогранники, за исключением архимедовой призмы и антлпризмы (3, 3, 3, n), построение которых не требует обьяснення, получаются из правильных многогранников посредством «отсечения углов» или отсечения ргбер». Эти построения легко усмотреть из рис. 16-38. Только построения многогранников (3, 3, 3, 3, 4) и (3, 3. 3, 3, 5) несколько запутаны. Эти многогранники получаются из октаэдра и из икосаэдра (или из гексаэдра из додекаэдра) при помощи специально подобранных отсечений вершин и ребер. При этом отсечение каждого ребра здесь осуществляется путем проведения двух плоскостей, не параллельных данному ребру.

Более наглядны следующие способы построения этих двух последних многогранников. Начертим в каждой грани правильного многогранника меньшие многоугольники, концентрические и гомотетичные с гранями, повернем все эти многоугольники вокруг их центра на один и тот же угол и рассмотрим выпуклую оболочку Н полученных непересекающихся многоугольников. При подходящем уменьшении и повороте треугольные грани Н станут правильными. Из тетраэдра получается таким образом икосаэдр. Это же построение, примененное к октаэдру или гектаэдру дает многогранник (3, 3, 3, 3 4), примененное к икосаэдру или додекаэдру —многогранник (3. 3. 3, 3 5) наконец, аналогичное построение, примененное к вырожденному правильному «многограннику» или дает вырожденный архимедов «многогранник» (3, 3, 3, 3, 6).

Первые пять вырожденных архимедовых «многогранников» нашей таблицы получаются из вырожденных правильных «многогранников» ) отсечением вершин или отсечением вершин и обыкновенным отсечением ребер. Последние два «многогранника», а именно (3, 3, 3, 4, 4) и (3, 3, 4, 3, 4), не могут быть получены из какого-либо правильного «многогранника».

Рис. 16

Рис. 18.

Рис. 17

Рис. 19.

Рис. 20.

Рис. 21.

Рис. 22.

Рис. 23.

Рис. 24.

Рис. 25.

Рис. 26.

Рис. 27.

Рис. 28.

Рис. 29.

Рис. 30.

Рис. 31.

Рис. 32.

Рис. 33.

Рис. 34.

Рис. 35.

Рис. 36.

Рис. 37.

Рис. 38.

Отметим, что в углах этих двух «многогранников» сходятся одинаковые грани, однако в различном расположении.

Только что рассмотренные равноугольные (архимедовы) по управильные многогранники все могут быть вписаны в шар. Полярное преобразование относительно описанного шара переводит каждый из них в равногранный многогранник (двойственный архимедову), описанный около того же шара. Разумеется, эти многогранники можно также построить непосредственно. В дальнейшем мы будем иметь дело лишь с одним из равногранно-полуправильных многогранников с ромбо-додекаэдром, многогранником, двойственным кубо-октаэдру (3, 4, 3, 4). Кубооктаэдр есть не что иное, как выпуклая оболочка середин ребер куба (или октаэдра). Следовательно, двойственный многогранник можно построить следующим образом. Проведем через каждое ребро куба плоскость, которая делит пополам внешний двугранный угол. Ромбододекаэдр есть многогранник, ограниченный этими плоскостями.

Еще нагляднее такое построение. На всех гранях куба как на основаниях построим равные четырехугольные пирамиды. Если высота пирамид равна половине длины ребра куба, то треугольные грани соседних пирамид, примыкающие к одному ребру куба, будут лежать в одной плоскости; многогранник, составленный из куба и восьми пирамид, в этом случае будет являться ромбододекаэдром