§ 3. Максимальная фигура для n = 8 и n = 9

Мы выведем сначала одно общее неравенство, относящееся к графам, состоящим из треугольников и четырехугольников. Рассмотрим для этого равнобедренный сферический треугольник ABC с боковыми сторонами . Пусть угол В равен . Закрепим а и будем рассматривать площадь треугольника

как функцию от .

Так как производная

монотонно убывает, то функция вогнута.

Пусть теперь есть четырехугольник графа с длиной сторон а и углом (3. Если — угол равностороннего треугольника ) , то . Так как вогнутая функция достигает минимума на концах отрезка, в котором она определена, т. е. и так как при и при четырехугольник распадается на два треугольника А, то

Рассмотрим теперь неприводимый граф без изолированных точек, который содержит только треугольники и четырехугольники. Пусть в точке Р сходится d треугольников и v четырехугольников. Если обозначить углы четырехугольников с вершиной Р через то сумма площадей всех многоугольников, сходящихся в точке Р, будет равна

Если закрепить величину , то не только но также и , а значит, и сумма будет вогнутой функцией от Поэтому эта сумма достигает своего минимума, когда принимает крайнее значение, принадлежащее области, определяемой условиями

В этом случае один из углов или (32 будет равен а или 2а и, значит, один из четырехугольников ) или например К), разобьется на два треугольника. Если теперь закрепить сумму . то мы опять заключим, что минимум достигается в том случае, когда один из четырехугольников разбивается на треугольники и т. д. Таким образом, минимум достигается в том случае, когда все четырехугольники, кроме, быть может, одного, разбиваются на треугольники; угол этого единственного четырехугольника, не распадающегося на два треугольника, мы обозначим через

Таким образом, окончательно получим:

где

означает излишек площади треугольника над равносторонним треугольником

Угол [30 можно определить еще так. надо вычесть из 360° такое кратное а, что остаток заклю ается между а и 2а. Отсюда вытекает, что [30 не зависит от чисел и v треугольников и четырехугольников, сходящихся в соответствующей вершине, и, следовательно, величина [30 в каждой вершине графа будет одна и та же.

Выпишем теперь подобные неравенства для всех точек графа и сложим их; мы получим:

где — сумма площадей треугольников и их число, те же величины для четырехугольников и к — число вершин графа. Если прибавить к обеим частям неравенства и разделить результат на 4, то получим:

Обозначим еще через k число ребер и через - число граней графа; тогда в силу формулы Эйлера

Поэтому наше последнее неравенство можно записать также так:

Это и есть обещанное неравенство; оно представляет собой усиление эквивалентного (1) неравенства , справедливое лишь для графов, состоящих только из треугольников и четырехугольников.

Равенство в (1) достигается в том случае, если граф состоит исключительно из треугольников или если в каждой вершине графа имеется точно один четырехугольник. В первом случае, который может иметь место лишь при или 12, мы приходим к сети линий на сфере, получающейся проектированием ребер вписанного в сферу правильного многоугольника с треугольными гранями из центра сферы на ее поверхность. Если же граф содержит также и четырехугольники, то все углы этих четырехугольников должны быть равны следовательно, четырехугольники должны быть правильными.

Рис. 106.

В этом случае граф будет совпадать с сетью линий, получающихся проектированием из центра сферы на ее поверхность ребер архимедова полуправильного многогранника, в каждой вершине которого сходятся некоторое число треугольников и один четырехугольник. Но имеется всего два таких многогранника (не вырожденных), а именно рассмотренная выше антипризма вершинами (см. рис. 103 на стр. 247) и обозначенный символом (3, 3, 3, 3, 4) многогранник с 24 вершинами (рис. 106). Таким образом, равенство в (1), кроме и 3,4,6 и 12, может достигаться еще только при или 24.

Рассмотрим теперь максимальный граф, отвечающий системе точек. Он, как мы уже знаем, не может содержать изолированных точек и должен состоять лишь из треугольников и четырехугольников. Таким образом, здесь имеет место неравенство (1)

или так как

Мы хотим выразить сумму, стоящую в левой стороне этогс неравенства только через . Так как

то .

Поэтому имеем [см. (I, 10, 4)]:

то

(2)

Левая часть этого неравенства при представляет собой монотонно возрастающую функцию . Поэтому неравенство (2) задает верхнюю границу для а (а следовательно, и для эта граница достигается только в том случае, когда неравенство (2) переходит в равенство, т. е. когда 8 вершин графа являются вершинами вписанного в сферу полуправильного многогранника (3, 3, 3, 4). Таким образом, мы убеждаемся, что искомое экстремальное расположение 8 точек на сфере задается системой вершин этого архимедова многогранника.

Наименьшее расстояние (сферическое) между двумя из заданных 8 точек единичной сферы не может превосходить . Равенство достигается только в том случае, когда 8 точек служат вершинами вписанного в сферу полуправильного многогранника, ограниченного двумя квадратами и восьмью равносторонними треугольниками.

Кроме перечисленных выше случаев, известна еще максимальная фигура, отвечающая . Ее можно описать следующим образом. Пусть ABC есть вписанный в экватор сферы правильный треугольник. Примем дуги АВ, ВС, СА большого круга за диагонали ромбов СВАВ" с одинаковой длиной стороны а; вершины этих ромбов обозначим так, что треугольники АВС и будут вписаны в два равных широтных круга сферы. Если увеличивать а от 60 до 90°, то длина сторон треугольников АВС и будет непрерывно уменьшаться от 120° до 0°. Поэтому найдется такая величина а, для которой длина сторон этих треугольников также будет равна а.

При этом вершины треугольников как раз и дадут искомое экстремальное расположение 9 точек. Граф, отвечающий этому расположению точек, содержит 3 ромба и 8 треугольников; все точки графа имеют 4-ю степень (рис. 107).

Элементарное вычисление показывает, что длина ребра а рассматриваемого графа равна . Таким образом, среди 9 точек единичной сферы всегда можно выбрать пару точек, (сферическое) расстояние между которыми не превосходит , и эту постоянную нельзя заменить меньшей.

Рис. 107.

Доказательство этой теоремы также вытекает из анализа возможных графов.

Однако здесь приходится предварительно доказывать несколько лемм и, кроме того, рассмотреть ряд отдельных случаев, число которых еще увеличивается из-за того, что здесь нельзя так легко, как в случаях 7 или 8 точек, исключить с самого начала существование пятиугольников и изолированных точек. Доказательство имеется в работе Шютте и Ван дер Вардена [1]; здесь мы его опустим.