§ 3. Об одном экстремальном разбиении пространства

Пусть все пространство так разбито на выпуклые многогранники, что почти все многогранники приближенно являются удвоенными сотами. Это надо понимать так: ести обозначить число многогранников, заключающихся в шаре К (R) с центром О и радиусом R, через а число тех из них, расстояние которых от любого удвоенного сота больше , через , то произвольного положительного . Такое разбиение пространства мы будем называть сотообразным. Главное различие между произвольным сотообразным разбиением пространства и тем разбиением, которое получается при сотообразном заполнении пространства шарами, заключается в том, что в последнем случае почти все ячейки близки к равновеликим удвоенным сотам, в то время как здесь речь идет о разбиении пространства, в котором могут участвовать удвоенные соты самых различных объемов.

После этого пояснения докажем следующую теорему:

Если все пространство так разбито на выпуклые многогранники, радиусы вписанных сфер которых имеют положительную нижнюю грань, а радиусы описанных сфер — конечную верхнюю грань, что существуют средние значения отношения квадрата поверхности F многогранника к его объему V и кривизны ребер М, то

причем равенство достигается только для сотообразного разбиения пространства.

Неравенство (1) можно рассматривать как пространственный аналог . Другую аналогичную задачу составляет оценка снизу средней величины , однако здесь наиболее благоприятным разбиением пространства является уже не сотообразное разбиение, а, по-видимому, разбиение на усеченные октаэдры.

Для доказательства неравенства (1) сложим неравенства 7,3), выписанные для всех многогранников, заключающихся в где d есть верхняя грань диаметров описанных шаров многоугольников, и оставим в правой стороне только члены, относящиеся к ребрам, целиком принадлежащим К (R). Пусть в некотором ребре сходится многогранников с двугранными углами ; в таком случае соответствующие углы при ребрах v многогранников равны Далее имеем [1]:

откуда стедует, что

Если сложим далее равенства — определяющие кривизны ребер всех многоугольников, заключающихся внутри то, учитывая, что получим:

Следовательно, имеем:

Если разделить обе части последнего неравенства на и перейти к пределу при то мы получим требуемый результат (1).

В этом доказательстве мы могли бы с самого начала ограничиться только теми разбиениями пространства, при которых к каждому ребру примыкают точно три многогранника; при этом рассуждения еще несколько упростились бы.

Разберем теперь, в каком случае здесь может иметь место равенство.

То, что для сотообразного разбиения пространства достигается равенство, совершенно очевидно. А именно, так как для удвоенного сота и V, F и М суть непрерывные функционалы многогранников, то для каждого положительного о можно найти такое , что для всех многогранников, расстояние которых от удвоенного сота меньше ,

Так как, однако, при сотообразном разбиении пространства это неравенство имеет место для почти всех многогранников, а для остальных многогранников эти величины в силу наших предположений равномерно ограничены, то

что возможно для любого о лишь в том случае, если в (1) имеет место равенство.

Несколько более сложно доказательство того, что равенство достигается только для сотообразного разбиения. Покажем прежде всего, что для тех многогранников, расстояние которых от каждого удвоенного сота больше определенного числа , можно указать такую положительную величину о, что или

или

В противном случае можно было бы построить последовательность таких многогранников, для которой

Если сдвинуть эти многогранники так, чтобы все они попали внутрь одного шара, то в силу теоремы выбора Бляшке эти сдвинутые многогранники будут иметь предельный элемент Н. Из последних предельных соотношений вытекает, что Н есть многогранник, для которого

откуда следует, что Н описан вокруг шара и что все его двугранные углы равны 120° [12]. Эти последние условия являются однако характеристическими для удвоенных сотов. Но то, что Н есть удвоенный сот, находится в противоречии с предположением о том, что все рассматриваемые многогранники отклоняются от каждого удвоенного сота более чем на е.

Из рассуждений, доказывающих (1), вытекает, что равенство может достигаться только в том случае, когда число тех многогранников, для которых имеет место или (2) или (3), является настолько малым по сравнению с общим числом многогранников, что им можно пренебречь. Это замечание и завершает наше доказательство.

Следует отметить, что разность может быть сколь угодно мала также для таких разбиений пространства, которые не относятся к сотообразным разбиениям. Чтобы показать это, разобьем поверхность сферы на большое число примерно равных правильных сферических шестиугольников; для точности можно, например, согласно § 9 гл. V говорить о разбиении сферы на равновеликих выпуклых сферических многоугольников с наименьшей суммой периметров. Если спроектировать эти сферические многоугольники из центра шара, то проектирующие лучи разобьют описанный вокруг сферы куб на иглообразные пирамиды; эти «иглы» будут тем острее, чем больше число .

Желаемое разбиение пространства получается, если замостить все пространство кубами и затем разбить каждый куб на достаточно острые иглы.

Разумеется, вместо кубов можно здесь использовать и какие-либо другие не обязательно равные многогранники, полностью заполняющие пространство. Если разбить пространство так, чтобы по мере удаления от исходной точки иглы становились все острее, то можно даже добиться того, чтобы в (1) имело место равенство. В этом случае однако или нижняя грань диаметров вписанных шаров игл не будет положительна, или диаметры описанных шаров не будут ограничены.

Укажем теперь несколько применений нашей теоремы. Сумму длин ребер многогранника обозначим через L и рассмотрим средние L и М. Если в ребре I сходятся v многогранников с углами при этих ребрах , то коэффициенты при I в суммах, дающих величины М и L, будут соответственно равны и . А так как

Равенство здесь имеет место только в том случае, если суммой ребер, к которым примыкают более чем три многогранника, можно пренебречь по сравнению с общей суммой длин ребер.

Из (1) и (4) вытекает неравенство

Оно заслуживает внимания потому, что нельзя указать никакого неравенства вида с универсальной постоянной с, справедливого для каждого отдельного многогранника.

Отметим еще следующее специальное, но не безынтересное следствие неравенства (5).

Необходимое и достаточное условие того, что пространство можно разбить на выпуклые многогранники, объем V, поверхность F и сумма длин ребер L которых связаны условием , где с наперед заданное положительное число, задается неравенством .

Необходимость этого условия является непосредственным следствием (5). В том, что это условие также является и достаточным, убедимся следующим образом.

«Сожмем» ромбододекаэдр при помощи равномерного укорочения шести параллельных ребер. В тот момент, когда зги ребра совсем исчезнут, мы получим параллелепипед; в свою очередь параллелепипед подобным же «сжатием.» в пределе переводится в два совпадающих равных ромба. Таким образом, можно получить замощающий многогранник, для которого частное имеет любое значение, не меньшее чем

Заметим еще, что при подобном же «растяжении» ромбододекаэдра частное будет изменяться от величины до предельного значения — . Минимум при подобном изменении («растяжении» и «сжатии») ромбододекаэдра будет достигаться — в соответствии с нашими ожиданиями — для самого ромбододекаэдра [1, а].

В заключение сделаем из (1) еще один вывод, относящийся к задаче о плотнейшей упаковке шаров: если есть средняя кривизна ребер ячеек системы материальных единичных шаров, то плотность заполнения пространства шарами

В самом деле, если многогранник заключает внутри себя единичный шар, то , т. е. . Отсюда имеем: откуда в силу равенства вытекает требуемое неравенство (6).

Так как для каждой ячейки то, очевидно, Интересно отметить, что уже подстановка в неравенство (6) этой совсем грубой оценки для М приводит к меньшему чем верхнему пределу плотности заполнения.

Величина, которая получается таким способом, равна т. е. есть не что иное, как плотность плотнейшего заполнения плоскости кругами.