§ 5. Объем вписанного многогранника

Этот параграф мы начнем с доказательства следующей теоремы:

Если многогранник с вершинами целиком содержится внутри единичного шара, то

Учитывая, что

получаем отсюда:

где точками обозначен член порядка К сожалению, этот член отрицательный, так что здесь нельзя получить точную асимптотическую оценку, аналогичную неравенствам (4,4).

Для доказательства неравенства (1) мы можем положить, что есть вписанный в единичный шар с центром О многогранник, все грани которого являются треугольными.

Возьмем грань и рассмотрим тетраэдр и сферический треугольник . Мы покажем, что объем v при данной величине достигает своего максимума в случае равностороннего треугольника . Достаточно показать, что у тетраэдра наибольшего объема Чтобы пояснить это, будем считать плоскость горизонтальной и рассмотрим круг Лекселля, проходящий через и точки диаметрально противоположные

При движении по дуге этого круга, площадь остается постоянной. С другой стороны, v достигает своего максимума, если высота тетраэдра, опущенная из будет наибольшей, т. е. если — наивысшая точка круга Лекселля. Эта точка как раз и характеризуется тем, что .

Только что доказанное экстремальное свойство можно записать так:

Но функция вогнута, так как

поэтому имеем:

что и требовалось доказать.

Повернем одну грань куба W вокруг ее центра на 45° и рассмотрим выпуклую оболочку Н новой грани и грани куба, противолежащей рассматриваемой. Нетрудно показать, что . Следовательно, среди всех вписанных в шар многогранников с 8 вершинами куб не будет наибольшим по объему. Анатогично и додекаэдр не является экстремальным многогранником. Вообще можно показать, что экстремальный многогранник может иметь только треугольные грани, лежащие в различных плоскостях; такой многогранник естественно называть истинным многогранником с треугольными гранями. Мы докажем здесь даже гораздо более общее предложение: многогранник, имеющий самый большой объем среди всех многогранников с данным числом вершин, вписанных в какую-то фиксированную гладкую выпуклую поверхность (т. е. в выпуклую поверхность, не имеющую особых точек), обязательно является истинным многогранником с треугольными гранями.

Под «гладкой поверхностью» (поверхностью без особенностей) мы здесь понимаем такую выпуклую поверхность, через каждую точку которой можно провести только одну опорную плоскость.

Эта теорема с определенной точки зрения представляет значительный интерес. Поясним это следующим примером. Очевидно, что среди всех многогранников с 8 вершинами, вписанных в куб W, наибольший объем имеет сам куб. Покроем теперь W тонким слоем воска так, чтобы вершины W остались на поверхности полученного тела К; при этом К может иметь те же симметрии, что и куб W, но может быть также и несимметричным. Надо только позаботиться о том, чтобы грани и углы W были закруглены, т. е. чтобы тело К было уже гладким. При этом вписанный в К многогранник с 8 вершинами, имеющий наибольший возможный объем, уже не будет совпадать с кубом W, как бы не был тонок слой воска.

Для доказательства нашей теоремы рассмотрим систему точек не лежащих в одной плоскости. Постараемся сначала определить геометрическое место G таких точек Р, что объем выпуклой оболочки Н точек и Р является постоянным.

Временно предположим, что в вершине Рмногогранника Н сходятся лишь треугольные грани Каждой треугольной грани сопоставим вектор имеющий направление внешней нормали к грани и величину положим еще

Если сдвинуть точку Р на вектор в новое положение Р так, чтобы новый многогранник Н остался изоморфным первоначальному многограннику Н, то

Поэтому есля желать, чтобы площадь Н осталась неизменной, то Р следует двигать в плоскости, перпендикулярной к вектору V. Однако дело будет обстоять таким образом только до тех пор, пока Р не попадет в плоскость грани выпуклой оболочки точек

При таком положении Р не все сходящиеся в этом вершине грани Н будут треугольниками. Если Р пересечет плоскость , то в Р будут сходиться уже другие треугольные грани; стало быть, точка Р должна будет двигаться в другой плоскости чем прежде. Один взгляд на рис. 99, который изображает аналогичную ситуацию для двумерного случая, убеждает в том, что О должно быть поверхностью выпуклого многогранника.

Рис. 99.

Рассмотрим теперь точек гладкой выпуклой поверхности Е и предположим, что, например, в точке сходятся не только трехугольные грани выпуклой оболочки Н этих точек. Если фиксировать все остальные точки и двигать так, чтобы объем Н оставался постоянным, то будет пробегать границу выпуклого многогранника. Так как первоначальное положе-» ние точки принадлежит ребру этого многогранника, то многогранник в окрестности точки будет пересекать поверхность Е. Но так как всякий многогранник наибольшего объема обязательно должен быть вписан в Е, то отсюда вытекает, что Н не может быть таким многогранником.

Наши рассуждения одновременно показывают, что многогранник наибольшего объема обладает тем свойством, что если векторы определяют взятые в циклической последовательности ребра, исходящие из одной вершины, то вектор имеет направление нормали к поверхности Е в этой вершине.

Оставим теперь на время нашу общую выпуклую поверхность и вернемся к случаю сферы. Последующие рассуждения можно рассматривать как попытку доказательства неравенства

(3)

где e, f и k число вершин, граней и ребер выпуклого многогранника V, содержащегося внутри единичного

По-видимому, это неравенство во всех случаях имеет место, однако пока еще мы не имеем оснований утверждать это совсем определенно [126].

Пусть - грань V, имеющая сторон, v выпуклая оболочка многоугольника t и центра шара О их проекция t из О на поверхность шара. По-видимому, имеет место следующее неравенство:

означающее, что при заданном числе сторон и площади проекции основания t пирамиды v объем этой пирамиды достигает максимума в том случае, когда t есть правильный -угольник, вписанный в шар. Однако доказательство этого факта, вероятно, не так просто, как доказательство аналогичного эстремального свойства правильного -угольпика в предыдущем параграфе.

Функция при при постоянном представляет собой вогнутую функцию и, наоборот, при постоянном вогнутую функцию . Если бы она являлась также вогнутой функцией двух переменных , то можно было бы утверждать, что

чем было бы доказано неравенство Однако во всей полосе не является вогнутой функцией. Достаточно, однако, воспользоваться вогнутостью ее только в области Охтг; здесь же вогнутость, по-видимому, действительно имеет место, что подтверждается изображенными на рис. 100 графиками функций ), отвечающих ряду значений .

Мы ограничимся сначала случаем и заметим, что для произвольного

Если заменить теперь каждую величину на и обозначить новые значения величин через , то для

Вместо детального обсуждения случая мы ограничимся одним простым примером.

Рис. 100.

Рассмотрим многогранник типа пятигранной призмы или, более обще, многогранник, для которого . Здесь достаточно заметить, что для постоянного функция является возрастающей функцией не только для 0 но и для следовательно, на этот случай можно перенести все предшествующие рассуждения