Главная > Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Максимальная фигура для n = 7

Рассмотрим равносторонний сферический треугольник ABC с длиной ребра пусть центр треугольника будет являться южным полюсом сферы. На трех сторонах треугольника построим три другие равносторонние треугольника; вершины Р, Q, R этих треугольников равноудалены от северного полюса N (рис. 104).

Если а мало, то это расстояние больше а; напротив, для это расстояние равно 0. Поэтому существует такое значение а, для которого . Так как четырехугольник APNR есть сферический ромб, то угол при А равен углу при N, т. е. 120°. Если далее а есть угол равностороннего треугольника с длиной ребра а, то .

Рис. 101.

Это расположение 7 точек А, В, С, Р, Q, R, N показывает, что а, Мы покажем, что 80° и, следовательно, граф, отвечающий системе точек А, В, С, Р, Q, R, N, как раз и является максимальным графом системы 7 точек.

Как мы уже видели, максимальный граф системы 7 точек, обязательно является неприводимым графом без изолированных точек, не содержащим других многоугольников, кроме треугольников и четырехугольников. Мы утверждаем далее, что максимальный граф системы 7 точек может содержать лишь точки 3-й и 4-й степени. Действительно, все углы, образованные отрезками графа, должны быть не меньше так как иначе наименьшее расстояние между точками было бы меньше Но так как , то в одной точке могут сходится самое большое 4 отрезка.

При этом все точки не могут быть степени 3, так как иначе число ребер должно было бы равняться (т. е. дробному числу!). Таким образом, максимальный граф содержит по крайней мере одну точку А четвертой степени. Пусть из А исходят отрезки графа АВ, AC, AR и АР (в этом циклическом порядке). Граф содержит еще две другие точки N и Q. Так как каждая точка имеет по крайней мере степень 3, то каждая из гочек N и Q соединена по крайней мере с двумя из точек В, С, R и Р.

При этом они могут быть соединены, однако, только с соседними точками В и С, или же с С и R, или же с R и Р, или же с Р и В: действительно, если бы точка N была соединена с точками В и R, то четырехугольная ломаная ABNR разбивала бы сферу на две части, каждая из которых содержит по крайней мере одну точку (Р или С), что, очевидно, невозможно.

Пусть точка N соединена с точками Р и R. Кроме того, N может быть соединена еще только с точкой Q; это последнее соединение тоже должно иметь место, так как степень точки N не меньше трех. Теперь Q может быть соединена с В и С, или с С и R, или с Р и В. Если бы Q была соединена с С и R, то В должна была бы быть соединена с С и Р.

Тогда пятиугольник NQCBP, который не разбивался бы на части своими диагоналями и, следовательно, граф содержал бы пятиугольник, что противоречит доказанному выше.

Аналогично показывается, что точка Q не может быть соединена с Р и с В. Таким образом, у нас остается одна единственная возможность: точка Q соединена с точками В и С. Далее, если наш граф не содержит пятиугольников, то точка В должна быть соединена с Р и точка С с R.

Рис. 105.

Пока наш граф имеет еще одну степень свободы, так как не определены углы ромбов, сходящихся в точке А. Мы знаем только, что оба эти угла не меньше в пределе один из них может оказаться равным причем придется добавить к нашему графу отрезок ВС или

Примем отрезки АВ, AC, AR, АР, NP, РВ, BQ, QC, CR, RN за стержни длины которые скреплены в вершинах графа шарнирами (рис. 105). Эта стержневая модель подвижна. Мы утверждаем, что диагональ AQ у есть рогпутзя функция угля .

Так как, очевидно, , то

т. e. производная есть убывающая функция [3, что и доказывает утверждение о вогнутости у. Аналогично, диагональ AN есть вогнутая функция угла PAR. Так как, однако, этот угол равен то AN одновременно является вогнутой функцией угла . Таким образом, сумма также представ ляет собой вогнутую функцию угла . Вогнутая функция достигает минимума в любом интервале на конце этого интервала. Поэтому если бы в максимальном графе углы обоих ромбов, сходящиеся в точке А, были бы больше то сумма могла бы быть уменьшена; при этом отрезок NQ, который обязательно должен иметься в максималыом графе, был бы разорван . Если же , то граф будет содержать также отрезок, соединяющий В и С. Построенный таким образом граф совпадает с рассмотренным выше графом, характеризующимся равенством а 80°.

Полученный результат можно сформулировать в виде следующей теоремы:

Наименьшее (сферическое) расстояние между двумя из произвольных 7 точек единичной сферы никогда не превосходит Равенство при этом достигается только для такого расположения точек, которому отвечает граф, содержащий три равных ромба, сходящихся в одной точке, и четыре треугольника.

1
Оглавление
email@scask.ru