§ 2. Максимальная фигура для n = 7

Рассмотрим равносторонний сферический треугольник ABC с длиной ребра пусть центр треугольника будет являться южным полюсом сферы. На трех сторонах треугольника построим три другие равносторонние треугольника; вершины Р, Q, R этих треугольников равноудалены от северного полюса N (рис. 104).

Если а мало, то это расстояние больше а; напротив, для это расстояние равно 0. Поэтому существует такое значение а, для которого . Так как четырехугольник APNR есть сферический ромб, то угол при А равен углу при N, т. е. 120°. Если далее а есть угол равностороннего треугольника с длиной ребра а, то .

Рис. 101.

Это расположение 7 точек А, В, С, Р, Q, R, N показывает, что а, Мы покажем, что 80° и, следовательно, граф, отвечающий системе точек А, В, С, Р, Q, R, N, как раз и является максимальным графом системы 7 точек.

Как мы уже видели, максимальный граф системы 7 точек, обязательно является неприводимым графом без изолированных точек, не содержащим других многоугольников, кроме треугольников и четырехугольников. Мы утверждаем далее, что максимальный граф системы 7 точек может содержать лишь точки 3-й и 4-й степени. Действительно, все углы, образованные отрезками графа, должны быть не меньше так как иначе наименьшее расстояние между точками было бы меньше Но так как , то в одной точке могут сходится самое большое 4 отрезка.

При этом все точки не могут быть степени 3, так как иначе число ребер должно было бы равняться (т. е. дробному числу!). Таким образом, максимальный граф содержит по крайней мере одну точку А четвертой степени. Пусть из А исходят отрезки графа АВ, AC, AR и АР (в этом циклическом порядке). Граф содержит еще две другие точки N и Q. Так как каждая точка имеет по крайней мере степень 3, то каждая из гочек N и Q соединена по крайней мере с двумя из точек В, С, R и Р.

При этом они могут быть соединены, однако, только с соседними точками В и С, или же с С и R, или же с R и Р, или же с Р и В: действительно, если бы точка N была соединена с точками В и R, то четырехугольная ломаная ABNR разбивала бы сферу на две части, каждая из которых содержит по крайней мере одну точку (Р или С), что, очевидно, невозможно.

Пусть точка N соединена с точками Р и R. Кроме того, N может быть соединена еще только с точкой Q; это последнее соединение тоже должно иметь место, так как степень точки N не меньше трех. Теперь Q может быть соединена с В и С, или с С и R, или с Р и В. Если бы Q была соединена с С и R, то В должна была бы быть соединена с С и Р.

Тогда пятиугольник NQCBP, который не разбивался бы на части своими диагоналями и, следовательно, граф содержал бы пятиугольник, что противоречит доказанному выше.

Аналогично показывается, что точка Q не может быть соединена с Р и с В. Таким образом, у нас остается одна единственная возможность: точка Q соединена с точками В и С. Далее, если наш граф не содержит пятиугольников, то точка В должна быть соединена с Р и точка С с R.

Рис. 105.

Пока наш граф имеет еще одну степень свободы, так как не определены углы ромбов, сходящихся в точке А. Мы знаем только, что оба эти угла не меньше в пределе один из них может оказаться равным причем придется добавить к нашему графу отрезок ВС или

Примем отрезки АВ, AC, AR, АР, NP, РВ, BQ, QC, CR, RN за стержни длины которые скреплены в вершинах графа шарнирами (рис. 105). Эта стержневая модель подвижна. Мы утверждаем, что диагональ AQ у есть рогпутзя функция угля .

Так как, очевидно, , то

т. e. производная есть убывающая функция [3, что и доказывает утверждение о вогнутости у. Аналогично, диагональ AN есть вогнутая функция угла PAR. Так как, однако, этот угол равен то AN одновременно является вогнутой функцией угла . Таким образом, сумма также представ ляет собой вогнутую функцию угла . Вогнутая функция достигает минимума в любом интервале на конце этого интервала. Поэтому если бы в максимальном графе углы обоих ромбов, сходящиеся в точке А, были бы больше то сумма могла бы быть уменьшена; при этом отрезок NQ, который обязательно должен иметься в максималыом графе, был бы разорван . Если же , то граф будет содержать также отрезок, соединяющий В и С. Построенный таким образом граф совпадает с рассмотренным выше графом, характеризующимся равенством а 80°.

Полученный результат можно сформулировать в виде следующей теоремы:

Наименьшее (сферическое) расстояние между двумя из произвольных 7 точек единичной сферы никогда не превосходит Равенство при этом достигается только для такого расположения точек, которому отвечает граф, содержащий три равных ромба, сходящихся в одной точке, и четыре треугольника.