§ 11. Исторические замечания

Теория выпуклых тел есть обширная область геометрии, основоположниками которой являются Я. Штейнер, Г. Брунн, Г. Минковский и др. Кажется, что со словами Мипковского: «Меня интересует все, что выпукло!» соглашались многие математики, так как этот изящный раздел математики еще и сегодня активно развивается. Обзор этой теории содержится в превосходной книге Боннезена и Фенхеля более специальный характер имеет монография А. Д. Александрова . Относительно понятий дифференциальной геометрии, встречающихся в гл. I и ниже, укажем на книгу Бляшке [2].

Аффинное преобразование, а также полярное преобразование относительно кривой или поверхности порядка — это классические понятия проективной геометрии; их подробное изложение имеется во всех учебниках аналитической и проективной геометрии, например в книге Шенфлисса и Дена [1]. Неравенство (2,1) содержится в работах [18, 20] автора.

Указанные в § 3 необходимые условия, определяющие экстремальный -угольник, вписанный в выпуклую фигуру и описанный около нее, были известны еще Штейнеру. На вопросы существования решений экстремальных задач впервые обратили внимание уже Дирихле и в особенности Вейерштрасс. Первое прямое, совершенно элементарное доказательство неравенств (3,1) и (3,2) принадлежит Кюршаку [1]. К неравенству (3,3) автор пришел в связи с задачей о теснейшем расположении кругов, которой впоследствии будет уделено много внимания Столь же простое доказательство второго неравенства (3,1) мне не известно.

Простые следствия (3,4) и (3,5) неравенства (3,1) имеются в работе автора [18].

Подробные исторические сведения об изопериметрической задаче, кроме уже упомянутой книги Боннезена и Фенхеля [1], имеются в замечательной маленькой книжке Бляшке [1] и в энциклопедической статье Штейница [1]. Понятие внутренней параллельной оболочки введено Ф. Риссом [1] в 1930 г. То обстоятельство, что с помощью этого понятия можно вывести простым способом установленное Боннезеном неравенство (4,5) было замечено Секефальви-Надем [1] (см. сноску 5 в этой работе Секефальви-Надя).

Желание дать чисто элементарно-геометрическое доказательство изопериметрического неравенства (4,1) неизбежно наталкивается на ту трудность, что сами понятия объема и периметра фигуры не являются элементарно-геометрическими. Эту трудность можно обойти, если попытаться доказать изопериметрическое неравенство для случая многоугольника; общий случай изопериметрического неравенства получается отсюда предельным переходом, которого требует само опреде ение площади и периметра. На этом пути использование неэлементарных соображений ограничивается лишь абсолютно необходимым. Боль [1], который нашел доказательство с помощью внутренней параллельной оболочки независимо от Секефальви-Надя, считал, что это есть первое «действительно простое» доказательство изопериметрического неравенства для многоугольников, которое исходит из элементарных соображений. Заметим еще, что принадлежащее Сантало первое доказательство изопериметрического неравенства методами интегральной геометрии (Бляшке [4] [24]) в случае многоугольника очень легко перевести на язык элементарной геометрии и что это доказательство, пожалуй, проще, чем доказательство с помощью внутренней параллельной оболочки. Этим способом можно даже вывести неравенство

справедливое также для любого невыпуклого многоугольника; здесь — произвольная величина, заключающаяся между радиусами вписанного и описанного круга (см. Фейеш Тот [35]).

Еще одно простое доказательство указал Хадвигер 14].

Неравенство (5,1) было выведено Л. Фейером в процессе математического соревнования с Лораном Этвешем в 1897 г. (ср. Т. Радо 11 ]). Можно, однако, предположить, что это неравенство на самом деле гораздо старше. Мы приведем здесь красивое доказательство этого неравенства, принадлежащее рано умершему венгерскому математику И. Адаму; это доказательство можно перенести также и на случай пространства. Рассмотрим окружность К, проходящую через середины сторон треугольника ; радиус ее, очевидно, равен Так как К является вписанной окружностью некоторого треугольника, гомотетичного первоначальному треугольнику и содержащего его внутри себя, то К не меньше, чем окружность, вписанная в ; при этом может случиться, что К совпадает с этой окружностью. Стало быть, мы имеем где равенство достигается только в указанном выше особом случае, т. е. когда треугольник — равносторонний.

Неравенство (5,2) было предложено Шрейбером [1]; его доказательство вытекает из более сильного неравенства (5,3), выведенного автором [23]. Полное доказательство неравенства (5,4) было дано Мордетом [1,2]. Простое доказательство этого красивого неравенства методами элементарной геометрии до сих пор неизвестно. Эквивалентность неравенств (5,5) и (5,6) была замечена автором [23].

Чтобы указать новые точки зрения, которые могут быть полезны при пространственных исследованиях, отметим еще одно неравенство, относящееся к треугольнику: если и -радиусы вневписанных и описанного кругов треугольника, то

где означает степенное среднее порядка k [25].

Первая часть этого неравенства легко усматривается непосредственно; вторую нашел Хайош [1], после того, как Барон [1] и Эрдеш [1] доказали неравенство шах а автор — неравенство

В связи с § 6 и § 7 укажем, кроме уже цитированной книги Брюккнера, также превосходные учебные книги Штейн та [1], Коксетера [1] и Александрова [2].