Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 9. О кратчайшей сети, разбивающей сферу на равновеликие выпуклые частиЕсли L есть общая длина дуг сети кривых, разбивающей единичную сферу на
Равенство здесь достигается только в том случае, если сеть образуется проектированием на поверхность сферы из ее центра ребер вписанного правильного многогранника с трехгранными углами. Это предложение является следствием следующей более общей теоремы. Если L есть общая длина дуг сети кривых, разбивающей единичную сферу на равновеликие выпуклые части, то
где k есть число ребер сети, Первая теорема вытекает отсюда вследствие того, что сеть с данным числом
Заметим еще, что вторая теорема сохраняет силу также и для вырожденных правильных многогранников (2, q) и Для доказательства воспользуемся изопериметрическим свойством правильного сферического многоугольника, согласно которому среди всех равновеликих сферических многоугольников с данным числом
Таким образом, имеем:
где Следовательно, имеем:
что эквивалентно неравенству (2). Анализ случая равенства не представляет здесь затруднений. Интересен, по-видимому, тот случай, когда известно число вершин сети, так сказать, число кольев, на которые натянута сетка. В этом случае имеем:
и равенство достигается только для случая сети, полученной проектированием сети ребер вписанного правильного многогранника с треугольными гранями из центра сферы на ее поверхность. Хотя в вышеупомянутом доказательстве была существенно использована выпуклость сферических областей, теорема, вероятно, сохраняет силу и при отказе от этого ограничения. Однако в этом более общем случае задача не решена уже для числа
|
1 |
Оглавление
|