Главная > Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 9. О кратчайшей сети, разбивающей сферу на равновеликие выпуклые части

Если L есть общая длина дуг сети кривых, разбивающей единичную сферу на равновеликих выпуклых частей, то

(1)

Равенство здесь достигается только в том случае, если сеть образуется проектированием на поверхность сферы из ее центра ребер вписанного правильного многогранника с трехгранными углами.

Это предложение является следствием следующей более общей теоремы.

Если L есть общая длина дуг сети кривых, разбивающей единичную сферу на равновеликие выпуклые части, то

где k есть число ребер сети, - среднее число сторон одной грани и q — среднее число ребер, выходящих из одной вершины. Равенство здесь достигается только для сети, получаемой проектированием ребер вписанного правильного многогранника из центра сферы на ее поверхность.

Первая теорема вытекает отсюда вследствие того, что сеть с данным числом граней всегда можно рассматривать как такую, в каждой вершине которой сходятся ровно три ребра. Поэтому можно считать

Заметим еще, что вторая теорема сохраняет силу также и для вырожденных правильных многогранников (2, q) и

Для доказательства воспользуемся изопериметрическим свойством правильного сферического многоугольника, согласно которому среди всех равновеликих сферических многоугольников с данным числом сторон правильный -угольник имеет наименьший периметр. Периметр правильного сферического -угольника площади t равен

Таким образом, имеем:

где означает число граней сети и число сторон отдельных граней. Можно показать, что при постоянном значении есть выпуклая функция .

Следовательно, имеем:

что эквивалентно неравенству (2). Анализ случая равенства не представляет здесь затруднений.

Интересен, по-видимому, тот случай, когда известно число вершин сети, так сказать, число кольев, на которые натянута сетка. В этом случае имеем:

и равенство достигается только для случая сети, полученной проектированием сети ребер вписанного правильного многогранника с треугольными гранями из центра сферы на ее поверхность.

Хотя в вышеупомянутом доказательстве была существенно использована выпуклость сферических областей, теорема, вероятно, сохраняет силу и при отказе от этого ограничения. Однако в этом более общем случае задача не решена уже для числа граней. Напротив, случай вполне ясен; решение здесь дается следующей совсем не тривиальной теоремой Ф. Бернштейна [1]: среди всех простых замкнутых кривых, делящих площадь сферы пополам, большая окружность имеет наименьшую длину.

1
Оглавление
email@scask.ru