Пусть источник, находящийся в газе или жидкости, испускает короткие импульсы с частотой $
u$. Если источник и приемник покоятся относительно среды, в которой распространяется волна, то частота воспринимаемых приемником импульсов будет равна частоте $v$ источника. Если же источник, или приемник, или оба движутся относительно среды, то частота $v^{\prime}$, воспринимаемая приемником, вообще говоря, оказывается отличной от частоты источника: $v^{\prime}
eq v$. Это явление называют эффектом Доплера.

Сначала рассмотрим случай, когда источник $S$ и приемник $P$ движутся вдоль проходящей через них прямой с постоянными скоростями $и$ и $u^{\prime}$ соответственно (относительно среды).

Если бы двигался только источник навстречу приемнику, испуская импульсы с периодом $T=1 / v$, то за это время очередной импульс пройдет относительно среды расстояние $\lambda=v T$, где $v-$ скорость волн в среде, и пока будет испущен следующий импульс, источник «нагонит\» предыдуций импульс на расстояние $и T$. Таким образом, расстояние между импульсами в среде станет равным $\lambda^{\prime}=v T-u T$ (рис. 1.11), и воспринимаеРис. 1.11 мая неподвижным приемником частота (число импульсов за единицу времени)
\[
v^{\prime}=\frac{v}{\lambda^{\prime}}=\frac{v}{T(v-u)} .
\]

Если же движется и приемник (пусть тоже навстречу источнику, то импульсы относительно приемника будут иметь скорость $v+u^{\prime}$, и число воспринимаемых за единицу времени импульсов
\[
v^{\prime}=\frac{v+u^{\prime}}{T(v-u)}=v \frac{v+u^{\prime}}{v-u} .
\]

Нетрудно сообразить, что при движении как источника, так и приемника в противоположных направлениях, знаки перед $u^{\prime}$ и $u$ надо поменять на обратные. Еще раз подчеркнем, что скорости $u^{\prime}$ и $u$ — это скорости приемника и источника относительно среды.

Как видно из приведенных рассуждений, эффект Доплера является следствием «уплотнения» (или разряжения) импульсов, обусловленным движением источника и приемника.

Формулу (1.59) целесообразнее записать в иной форме, более общей и более простой для запоминания и использования:

где $u_{x}^{\prime}$ и $u_{x}$ — проекции скоростей приемника и источника на ось $X$, проходящую через них и положительное направление которой совпадает с направлением распространения импульсов, т. е. от источника $S$ к приемнику $P$.

Прежде чем продолжить обсуждение возможностей выражения (1.60), приведем два простых примера.
Пример 1. Источник $S$ и приемник $P$ удаляются друг от друга по одной прямой в противоположные стороны относительно среды со скоростями $и$ и $u^{\prime}$. Частота источника $v$, скорость сигналов в среде $v$. Найдем частоту $v^{\prime}$, воспринимаемую приемником.
В данном случае проекция скорости приемника на ось $X$ есть $u_{x}^{\prime}=u^{\prime}$, а проекция скорости источника $u_{x}=-u$. Подставив эти величины в формулу (1.60), получим
\[
v^{\prime}=v\left(v-u^{\prime}\right) /(v+u) .
\]

Пример 2. Источник $S$, испускающий сигналы с частотой $v$, движется с постоянной скоростью $u_{s}$ относительно приемника $P$, установленного на башне (рис. 1.12). При этом воздушная масса

Рис. 1.12
перемещается относительно земной поверхности вправо с постоянной скоростью $u_{0}$ (ветер). Скорость звука в воздухе $v$. Найдем частоту $v^{\prime}$, воспринимаемую приемником.
Имея в виду, что в формулу (1.60) входят скорости относительно среды, запишем: проекция скорости приемника $u_{x}^{\prime}=-u_{0}$, а проекция скорости источника $u_{x}=u_{s}-u_{0}$. Обе проекции взяты, как должно быть, на ось $X$, направленную вправо. Остается подставить эти проекции в формулу (1.60), и мы получим:
\[
v^{\prime}=v \frac{v-\left(-u_{0}\right)}{v-\left(u_{s}-u_{0}\right)}=v \frac{v+u_{0}}{v-\left(u_{s}-u_{0}\right)} .
\]

Вернемся к обсуждению возможностей формулы (1.60). Оказывается, эта формула при определенных дополнительных условиях может быть использована и в более сложных случаях, а именно, когда источник и приемник движутся не по одной прямой и с изменяющимися во времени скоростями $\mathbf{u}(t)$ и $\mathbf{u}^{\prime}(t)$. В этих случаях необходимо учитывать так называемый эффект запаздывания. Поскольку скорость передачи сигналов конечна, воспринимаемая приемником частота $v^{\prime}$ в момент $t$ будет обусловлена приходом в этот момент сигналов, испущенных источником в предшествующий момент $t^{\prime}=t-\tau$, где $\tau-$ время, необходимое для прохождения расстояния $l$ от источника в момент $t-\tau$ до приемника в момент $t$, т. е. $\tau=l / v$. В качестве примеров могут служить задачи 1.9 и 1.10 .

Вместе с тем, в некоторых случаях эффектом запаздывания можно пренебречь — это при условии, что скорости источника и приемника значительно меньше скорости звука (и при разумных расстояниях между источником и приемником). Пусть источник $S$ и приемник $P$ движутся, например, так, как показано на рис. 1.13, со скоростями и и $u^{\prime} \ll v$.

Рис. 1.13
Тогда в формулу (1.60) следует подставить
\[
u_{x}=u \cos \alpha, \quad u_{x}^{\prime}=u^{\prime} \cos \alpha^{\prime} .
\]

В приведенном на рисунке случае $u_{x}>0$, а $u_{x}^{\prime}<0$.
В заключение этой главы отметим, что многие вопросы, касающиеся особенностей волновых процессов (отражение, преломление, интерференция, дифракция, дисперсия и др.) будут рассмотрены далее на примере электромагнитных волн и в разделе «Волновая оптика».