Скорость волны в тонком стержне. Под тонким имеется в виду стержень, толщина которого мала по сравнению с длиной волны $\lambda$. При малых продольных деформациях стержня справедлив закон Гука:
\[
\sigma=E \varepsilon,
\]

где $\sigma$ – напряжение (Н/м²), $E$ – модуль Юнга (Па), $\varepsilon=\partial \xi / \partial x$. Заметим, что $\sigma$, как и $\varepsilon$, величина алгебраическая, и знаки $\sigma$ и $\varepsilon$ всегда одинаковы: при растяжении – положительные, при сжатии – отрицательные.
Рис. 1.4
Рассмотрим малый элемент стержня $\Delta x \ll \lambda$ в момент, когда при прохождении волны он оказался, например, в растянутом состоянии (рис. 1.4). Применим к этому элементу 2 -й закон Ньютона:
\[
\rho \Delta x S \cdot \ddot{\xi}=F_{x}(x+\Delta x)+F_{x}(x),
\]

где $\rho$ – плотность материала стержня, $S$ – площадь его поперечного сечения. В данный момент, как видно из рисунка, $F_{x}(x+\Delta x)>0$, а $F_{x}(x)<0$. Соответствующие же значения $\sigma$ в сечениях $x$ и $x+\Delta x$ положительные (растяжение!). Поэтому правую часть уравнения можно переписать так:
\[
F_{x}(x+\Delta x)+F_{x}(x)=S \sigma(x+\Delta x)-S \sigma(x)=S \frac{\partial \sigma}{\partial x} \Delta x,
\]

где учтено, что слева $F_{x}$ и $\sigma$ имеют разные знаки (это будет и при сжатии). Тогда уравнение движения после сокращения на $\Delta x \cdot S$ примет вид $\rho \ddot{\xi}=\partial \sigma / \partial x$. Остается учесть (1.24), после чего получим окончательно:
\[
\rho \frac{\partial^{2} \xi}{\partial t^{2}}=E \frac{\partial^{2} \xi}{\partial x^{2}} .
\]

Мы пришли, таким образом, к волновому уравнению. Это позволяет утверждать, что в стержне будет распространяться продольная волна, скорость $v$ которой легко определить, сопоставив полученное выражение с (1.23):
\[
v=\sqrt{E / \rho} .
\]

Заметим, что для не тонкого стержня выражение для $v$ имеет более сложный вид и значение $v$ оказывается больше, чем в случае тонкого стержня.

Можно показать, что скорость поперечных упругих волн в неограниченной изотропной твердой среде
\[
v=\sqrt{G / \rho},
\]

где $G$ – модуль сдвига среды, $\rho$ – еє плотность.
Скорость волны в гибком шнуре. Найдем уравнение малых поперечных колебаний натянутого шнура, исходя из основного уравнения динамики. На малый элемент 12 шнура (рис. 1.5)
Рис. 1.5

слева действует сила натяжения $F$. Ее вертикальная проекция $F_{\xi}(x)=-F \sin \alpha$. При малых смещениях $\sin \alpha=\operatorname{tg} \alpha=\partial \xi / \partial x$, и мы можем записать
\[
F_{\xi}(x)=-F \partial \xi / \partial x .
\]

Аналогичное выражение для проекции силы (только со знаком «十») можно записать и для правого конца элемента 12. Результирующая этих двух проекций сил
\[
\left(F \frac{\partial \xi}{\partial x}\right)_{2}+\left(-F \frac{\partial \xi}{\partial x}\right)_{1}=\frac{\partial}{\partial x}\left(F \frac{\partial \xi}{\partial x}\right) \mathrm{d} x .
\]

Iренебрегая изменением силы $F$ вдоль шнура (это справедливо для малых смещений при колебаниях), правую часть предыдущего выражения можно переписать так: $F\left(\partial^{2} \xi / \partial x^{2}\right) \mathrm{d} x$. Если линейная плотность шнура (масса единицы его длины) равна $\rho_{1}$, то по второму закону Ньютона $\rho_{1} \mathrm{~d} x \cdot \ddot{\xi}=F \xi_{x}^{\prime \prime} \mathrm{d} x$, или
\[
\frac{\partial^{2} \xi}{\partial t^{2}}=\frac{F}{\rho_{1}} \frac{\partial^{2} \xi}{\partial x^{2}} .
\]

Из сравнения с (1.23) находим выражение для скорости волны в шнуре:
\[
v=\sqrt{F / \rho_{1}} .
\]

Скорость звука в жидкостях и газах. Формулу (1.26) можно использовать для вычисления скорости продольных волн в жидкостях и газах. Действительно, вырезав мысленно канал в направлении распространения плоской волны, мы можем повторить все рассуждения, приведшие нас к этой формуле. Остается только выяснить, что в этом случае играет роль модуля Юнга $E$.

При продольных волнах в среде возникают сжатия и разряжения отдельных слоев, и закон Гука в данном случае – связь избыточного давления $\Delta p$ с относительным изменением длины элемента $\Delta x$ цилиндрического канала $\Delta \xi / \Delta x$ – примет вид $\Delta p=-E \Delta \xi / \Delta x$, где знак минус связан с тем, что приращения давления $\Delta p$ и длины $\Delta \xi$ противоположны по знаку. Умножив числитель и знаменатель на площадь поперечного сечения канала, получим
\[
\Delta p=-E \Delta V / V,
\]

где $\Delta V / V$ – относительное приращение объема рассматриваемого элемента. Перейдя к пределу, получим
\[
E=-V \mathrm{~d} p / \mathrm{d} V .
\]

Объем $V$ элемента $\Delta x$ и его плотность меняются при прохождении волны, но их произведение, т. е. масса $\rho V=$ const. Отсюда $\mathrm{d} \rho / \rho=-\mathrm{d} V / V$, значит
\[
\mathrm{d} V=-V \mathrm{~d} \rho / \rho .
\]

После подстановки этого выражения в (1.32) получим $E=\rho \mathrm{d} p / \mathrm{d} \rho$, и скорость волны – формула (1.26) – примет вид
\[
v=\sqrt{\mathrm{d} p / \mathrm{d} \rho} .
\]

Это выражение справедливо для волн в жидкостях и газах.
Опыт показывает, что при распространении звука в газе связь между давлением и объемом определяется уравнением
\[
p V^{\gamma}=\text { const, }
\]

где $\gamma$ – так называемая постоянная адиабаты, равная отношению теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме, $\gamma=C_{p} / C_{V}$ – величина, характерная для каждого газа. Запишем дифференциал натурального логарифма выражения (1.35):
\[
\frac{\mathrm{d} p}{p}+\gamma \frac{\mathrm{d} V}{V}=0,
\]

откуда $\mathrm{d} p / \mathrm{d} V=-\gamma p / V$, и формула (1.32) принимает вид
\[
E=\gamma p .
\]

Таким образом, скорость звуковой волны в газе
\[
v=\sqrt{\gamma p / \rho}
\]

Это выражение можно преобразовать к более удобному для расчетов виду, если учесть уравнение состояния идеального газа $p V=(m / M) R T$, где, напомним, $m$ – масса газа, $M$ – его молярная масса. Из уравнения состояния определим плотность как $\rho=m / V=p M / R T$, и уравнение (1.37) станет таким:
\[
v=\sqrt{\gamma R T / M}
\]

где $R$ – универсальная газовая постоянная.