4.1. Зеркало Ллойда. В этой интерференционной схеме интерферируют световая волна 1 , исходящая непосредственно из источника $S$ (узкой ярко освещенной щели), и волна 2 , отраженная от зеркала 3 (рис. 4.25). На экране $Э$ образуется система интерференционных полос. Найти длину волны света, если известно, что расстояние от источника до экрана равно $l$, ширина интерференционной полосы $\Delta x$, а после того, как источник $S$ отодвинули от плоскости зеркала на $\Delta d$, ширина полос уменьшилась в $\eta$ раз.
Р е ш е н и е. Согласно (4.6), расстояние $d$ между источником $S$ и его мнимым изображением $S^{\prime}$ равно $d=\lambda l / \Delta x$. После отодвигания источника $S$ это расстояние стало
\[
d+2 \Delta d=\lambda l /(\Delta x / \eta)=\eta \lambda l / \Delta x .
\]
Вычтя первое равенство из второго, получим:
\[
\lambda=2 \Delta x \Delta d / l(\eta-1) \text {. }
\]
4.2. Интерферометр Рэлея. Его схема поканаза на рис. 4.26. Здесь $\mathrm{S}-$ узкая щель, освещаемая монохроматическим светом с длиной волны $\lambda, 1$ и 2 – две одинаковые трубки с воздухом, длина каждой из которых равна $l$, торцы – прозрачные, Д – диафрагма с
Рис. 4.25
Рис. 4.26
двумя щелями. Когда воздух в трубке 1 постепенно заменили газом $X$, то интерференционная картина на экране $Э$ сместилась вверх на $N$ полос. Зная показатель преломления $n_{0}$ воздуха, определить показатель преломления $n$ газа $X$.
Р еш ен и е. Смещение на $N$ полос означает, что оптическая разность хода $\Delta$ лучей, падающих на щели, стала равной $N \lambda$, т. е. $\ln -\ln _{0}=N \lambda$. Отсюда $n=n_{0}+N \lambda / l$.
Смещение полос вверх свидетельствует о том, что и максимум нулевого порядка сместился вверх. При этом увеличение геометрической длины луча 2 компенсируется увеличением оптической длины луча 1.
Интерферометр Рэлея используется для измерения малых разностей показателей преломления прозрачных веществ (газов и жидкостей).
4.3. Интерференция плоских волн. Две одинаковые когерентные плоские световые волны, угол между направлениями распространения которых $\varphi$ « 1 , падают почти нормально на экран. Показать, что расстояние между соседними максимумами на экране (ширина интерференционной полосы) $\Delta x=\lambda / \varphi$, где $\lambda$ – длина волны света.
Р е ш е н и е. Каждая плоская волна имеет вид
\[
E=A \cos (\omega t-\mathbf{k r}+\alpha),
\]
и отличаются они друг от друга только векторами $\mathbf{k}_{1}$ и $\mathbf{k}_{2}$, а также дополнительными фазами $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$.
В точке экрана с радиус-вектором $\mathbf{r}$ разность фаз ‘аких двух волн равна следующему выражению:
\[
\mathbf{k}_{1} \mathbf{r}-\mathbf{k}_{2} \mathbf{r}+\Delta \alpha=\Delta \mathbf{k} \cdot \Delta \mathbf{r}+\Delta \alpha,
\]
где $\Delta \mathbf{k}=\mathbf{k}_{1}-\mathbf{k}_{2}$. Пусть в этой точке экрана образуется максимум, тогда переход к следующему максимуму будет определяться условием
\[
\Delta \mathbf{k} \cdot \Delta \mathbf{r}=2 \pi,
\]
где $\Delta \mathbf{k} \| \Delta \mathbf{r}$. Заменим эти векторы на их модули: $|\Delta \mathbf{k}|=k \varphi=(2 \pi / \lambda) \varphi$ и $|\Delta \mathbf{r}|=\Delta x$. В результате из формулы (1) получим $\Delta x=\lambda / \varphi$.
Следует отметить, что приведенный расчет дает возможность найти только ширину $\Delta x$ интерференционной полосы, но не порядок интерференции $m$. Последнее же бывает во многих случаях весьма необходимым.
4.4. Бипризма Френеля. Найти выражения, определяющие условия для ширины $s$ щели и степени монохроматичности $\lambda / \Delta \lambda$, которые обеспечивали бы получение интерференционной картины на всей ширине зоны интерференции (в месте расположения экрана), причем с достаточно хорошей видностью. Расстояния от бипризмы до щели и экрана равны соответственно $a$ и $b$, преломляющий угол бипризмы $\theta$, показатель преломления стекла $n$.
Р ешение е. Для выполнения указанных требований следует, согласно формулам (4.13) и (4.14), обеспечить должные значения длины и ширины когерентности, $l_{\text {ког }}$ и $h_{\text {ког }}$.
Для получения интерференционных полос надо, чтобы $h_{\text {ког }}$ в месте расположения бипризмы (где волна расчленяется на две части) превышала вдвое расстояние $d^{\prime}$ между лучами, которые затем сходятся вблизи центра интерференционной картины на экране. В этом случае складываемые колебания будут достаточно когерентны для создания интерференционных полос с хорошей видностью. Итак, надо чтобы $h_{\text {ког }} \geqslant 2 d^{\prime}$.
Здесь $h_{\text {коr }} \approx \lambda / \varphi=\lambda /(s / a), s$ – искомая ширина щели. Расстояние же $d^{\prime}$ найдем с помощью рис. 4.27, откуда следует, что
\[
d^{\prime} / d=b /(a+b),
\]
где $d=a \cdot 2 \alpha, \alpha$ – угол отклонения луча, после прохождения через бипризму – он одинаков для всех лучей: $\alpha=(n-1) \theta$ (см. задачу 3.6).
После подстановки выражений для $h_{\text {ког }}$ и $d^{\prime}$ в исходную формулу получим
\[
\frac{\lambda a}{s} \geqslant 2 \frac{b}{a+b} a \cdot 2 \alpha,
\]
откуда
\[
s \leqslant \frac{\lambda}{4 \alpha}\left(1+\frac{a}{b}\right) .
\]
Теперь второе условие – относительно $\lambda / \Delta \lambda$. Согласно (4.13), необходимо, чтобы $l_{\text {ког }} \geqslant 2 \Delta$. Здесь $l_{\text {ког }} \approx \lambda^{2} / \Delta \lambda$, а $\Delta$ – оптическая разность хода, которая должна соответствовать получению максимума наибольшего порядка – на краю зоны интерференции в месте расположения экрана. Пусть полуширина зоны интерференции в
Рис. 4.27
Рис. 4.28
этом месте равна $x_{m}$, тогда с помощью рис. 4.28 из подобия треугольников получим:
\[
\Delta / d=x_{m} /(a+b),
\]
где $d=a \cdot 2 \alpha, x_{m}=b \cdot \alpha$ (см.рис. 4.11). После подстановки выражений для $l_{\text {ког }}$ и в исходную формулу получим:
\[
\frac{\lambda^{2}}{\Delta \lambda} \geqslant 2 \frac{x_{m} d}{a+b}=4 \frac{a b}{a+b} \alpha^{2},
\]
откуда
\[
\frac{\lambda}{\Delta \lambda} \geqslant \frac{4 \alpha^{2}}{\lambda} \frac{a b}{a+b} .
\]
4.5. Интерференция при отражении от тонкой пленки. На поверхности стекла находится тонкая пленка воды. На нее падает свет с длиной волны $\lambda$ под углом 9 к нормали. Найти скорость, с которой уменьшается толщина пленки (из-за испарения), если интенсивность отраженного света меняется так, что промежуток времени между последовательными максимумами отражения равен $\Delta t$. Р е ш е и е: Из формулы (4.32) следует, что переход к следующему максимуму происходит при условии $\Delta m=1$ и $\Delta b=v \Delta t$. Отсюда $v$ – искомая скорость:
\[
v=\frac{\lambda}{2 \Delta t \sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \vartheta}},
\]
где $n$ – показатель преломления воды.
4.6. Ивтерференция от клина. Свет с длиной волны $\lambda$ от удаленного точечного источника падает нормально на поверхность стеклянного клина с малым углом раствора. В отраженном свете наблюдают систему интерференционных полос. Расстояние между соседними максимумами на поверхности клина равно $\Delta x$. Найти:
a) угол между гранями клина;
б) длину когерентности, если исчезновение интерференционных полос наблюдается на расстоянии $l$ от вершины клина ( $l \gg \Delta x$ ). Р е шен и е. а) При переходе к соседнему максимуму оптическая разность хода $\Delta$ должна равняться $\lambda$, т. е.
\[
2 \Delta x \theta n=\lambda .
\]
Здесь учтено, что угол клина весьма мал. Отсюда
\[
\theta=\lambda / 2 n \Delta x .
\]
б) Запишем условие исчезновения интерференционной картины $\left(l_{\text {коr }} \leqslant \Delta\right)$, пренебрегая \”потерей\” полуволны, поскольку в нашем случае $l \gg \Delta x$. Тогда
\[
l_{\text {ког }} \approx 2 l \theta n .
\]
Подставив в эту формулу выражение для $\theta$ из предыдущего пункта, получим:
\[
l_{\text {ког }} \approx \lambda l / \Delta x .
\]
4.7. Кольца Ньютона. Сферическая поверхность плоско-выпуклой линзы соприкасается со стеклянной пластинкой. Пространство между линзой и пластинкой заполнено некоторой прозрачной жидкостью. Известны показатели преломления линзы $n_{1}$, данной жидкости $n_{2}$ и пластинки $n_{3}$, причем $n_{1}<n_{2}<n_{3}$. Радиус кривизны сферической поверхности линзы равен $R$. Определить радиус $N$-го темного кольца в отраженном свете, длина волны которого $\lambda$.
Р еш ен и е. При таком соотношении между показателями преломления \”потеря\” полуволны (это ведь скачок фазы на $\pi$ ) происходит при отражении от обеих поверхностей границы жидкость стекло, и они агасят друг друга. Поэтому условие образования m-го темного кольца выглядит так:
\[
2 b n_{2}=(m-1 / 2) \lambda, \quad m=1,2, \ldots N, \ldots
\]
Кроме того, учтем связь (4.35) между зазором $b$ и радиусом кольца $r$ :
\[
2 b R=r^{2} .
\]
Исключив $b$ из этих двух уравнений, получим:
\[
r_{N}=\sqrt{(N-1 / 2) \lambda R / n_{2}} .
\]
Puc. 4.29
Рис. 4.30
4.8. Плоско-выпуклая стеклянная линза с радиусом кривизны сферической поверхности $R$ лежит на стеклянной пластине, причем из-за попадания пылинки между выпуклой поверхностью линзы и пластинкой нет контакта. Найти радиус кривизны выпуклой поверхности линзы, если диаметры $N_{1}$-го и $N_{2}$-го темных колец в отраженном свете равны соответственно $d_{1}$ и $d_{2}$.
Р е ш е н и е. Здесь воспользоваться непосредственно формулой (4.36) мы не можем, так как не знаем порядков интерференции колец: они не совпадают с номерами колец. Но разности порядков интерференции равны разности номеров. Этим мы и воспользуемся. Условие образования темных колец (рис. 4.29), согласно (4.34), запишем как
\[
2(b+\Delta b)=m \lambda,
\]
кроме того, геометрическая связь между $b$ и $r$, согласно (4.35);
\[
2 b R=r^{2} .
\]
С помощью этих двух равенств находим:
\[
r_{2}^{2}-r_{1}^{2}=R\left(2 b_{2}-2 b_{1}\right)=R\left(m_{2}-m_{1}\right) \lambda=R\left(N_{2}-N_{1}\right) \lambda .
\]
Отсюда
\[
R=\frac{d_{2}^{2}-d_{1}^{2}}{4\left(N_{2}-N_{1}\right) \lambda} .
\]
4.9. В двухлучевом интерферометре используется некоторая спектральная линия, состоящая из двух близких компонент с длинами волн $\lambda_{1}=577 \mathrm{нм} \mathrm{и} \lambda_{2}=579$ нм. При каком наименьшем порядке интерференции видность интерференционной картины будет наихудшей?
Р е ше н и е. Изобразим расположение максимумов двух компонент (рис. 4.30). Из рисунка видно, что видность будет наихудшей, когда максимум компоненты $\lambda_{2}$ окажется посередине между максимумами компоненты $\lambda_{1}$. Это будет при условии
\[
m \lambda_{2}=m \lambda_{1}+\lambda_{1} / 2 .
\]
Отсюда
\[
m=\lambda_{1} / 2\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right) \approx 140 .
\]
4.10. Интерферометр Майкельсона. В нем используют желтую линию натрия, состоящую из двух компонент с длинами волн $\lambda_{1}=589,0$ нм и $\lambda_{2}=589,6$ нм. При поступательном перемещении одного из зеркал интерферометра интерференционная картина периодически исчезала (почему?). Найти перемещение зеркала, при котором последовательно появляются наиболее четкие интерференционные картины.
Р е е н и е. Условие перехода от одной четкой картины к следующей:
\[
(m+1) \lambda_{1}=m \lambda_{2},
\]
где $m$ – некоторое целое число. При этом условии максимумы от $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ будут накладываться друг на друга.
Соответствующее перемещение $\Delta b$ зеркала определяется уравнением
\[
2 \Delta b=m \lambda,
\]
где под $\lambda$ можно понимать как $\lambda_{1}$, так и $\lambda_{2}$ (их различие здесь не существенно: оно слишком мало).
Из этих двух уравнений получим:
\[
\Delta b \approx \lambda^{2} / 2 \Delta \lambda,
\]
где $\Delta \lambda=\lambda_{2}-\lambda_{1}$.
