Упругой волной называют процесс распространения возмущения в упругой среде. При этом происходит распространение именно возмущения частиц среды, но сами частицы испытывают движения около своих положений равновесия. Среду будем рассматривать как сплошную и непрерывную, отвлекаясь от ее атомистического строения.

Различают волны продольные и поперечные, в зависимости от того, движутся ли частицы около своих положений равновесия вдоль или поперек направления распространения волны.

Уравнение волны. Несмотря на большое разнообразие физических процессов, вызывающих волны, их образование происходит по общему принципу. Возмущение, происшедшее в какой-нибудь точке $A$ среды в некоторый момент времени, проявляется спустя определенное время на интересующем нас расстоянии от точки $A$, т. е. передается с определенной скоростью.

Рассмотрим для простоты распространение возмущения вдоль длинного натянутого шнура, с которым совместим ось $X$. Мы можем представить возмущение $\xi$ – смещение элементов шнура из положения равновесия – как функцию координаты $x$ и времени $t$, т. е. $\xi=f(x, t)$. Легко видеть, что распространение возмущения со скоростью $v$ в положительном направлении оси $X$ изобразится той же функцией $f$, если в ее аргумент $x$ и $t$ будут входить в виде комбинации ( $v t-x$ ) или $(t-x / v$ ). Действительно, такое строение аргумента показывает, что значение функции $f$, которое она имела в точке $x$ в момент $t$, будет в да тьнейшем сохраняться, если $v t-x=$ const. Но это так и есть, госкольку именно при этом условии $\mathrm{d} x / \mathrm{d} t=v$.

Итак, любая функция от аргумента ( $v t-x$ ) или ( $t-x / v$ ) выражает распространение возмущения со скоростью $v$ :
\[
\xi(x, t)=f(t-x / v) .
\]

Это и есть уравнение волны, распространяющейся в положительном направлении оси $X$. Волна же, распространяющаяся в отрицательном направлении $X$, описывается уравнением
\[
\xi(x, t)=f(t+x / v) .
\]

Особую роль среди различных волн играет гармоническая волна. Во многих отношениях это простейшее волновое движение и его выделенность связана с особыми свойствами гармонических осцилляторов. Уравнение гармонической волны имеет вид
\[
\xi(x, t)=a \cos \omega(t-x / v),
\]

где $a$ – амплитуда волны, $\omega$ – циклическая (круговая) частота колебаний частиц среды ( $\mathrm{c}^{-1}$ ). Эта волна периодична во времени и пространстве, поскольку сама функция периодична и ее период равен $2 \pi$. Из периодичности во времени $\omega \Delta t=2 \pi$ находим $\Delta t=2 \pi /$. Этот промежуток времени называют периодом колебаний:
\[
T=2 \tau / \theta .
\]

Из периодичности в пространстве $\omega \Delta x / v=2 \pi$ находим $\Delta x=$ $=2 \pi v / 0=v T$. Расстояние $\Delta x$ называют длиной волны $\lambda$. Таким образом, длина волны – это расстояние между ближайшими точками среды, колеблюцимися с разностью фаз $2 \pi$. Другими словами, это расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний $T$ :
\[
\lambda=v T .
\]

Поскольку $T=1 / v$, где $v$ – частота колебаний (Гц), формулу (1.5) можно представить и так:
\[
\lambda=v /
u .
\]

Уравнение гармонической волны (1.3) принято записывать в симметричном более удобном и простом виде. Для этого внесем
() в скобку, тогда
\[
\omega) t-\omega x / v=(1) t-k x,
\]

где $k=\omega / v=2 \pi / T v$, или
\[
k=2 \pi / \lambda .
\]

Величину $k$ называют волновым числом.
Тогда уравнение (1.3) примет следующий симметричный вид:
\[
\xi=a \cos (\omega t-k x) .
\]

Отметим, что фигурирующая выше скорость $v$ – это фазовал скорость волны, т. е. скорость, с которой распространяется определенное значение фазы еолны – величины в скобках формул (1.1), (1.2), (1.8). Именно фаза характеризует определеннсе состояние движения частиц среды при прохождении волны.

До сих пор предполагалось, что волна распространяется в непоглощающей упругой среде, поэтому ее амплитуда $a$ =const. С угетом же поглощения амплитуда волны, как показывает опыт, уменьшается с рассгоянием $x$ по закону $a=a_{0} \mathrm{e}^{-\gamma x}$, где $\gamma-\kappa о э ф-$ фициент затухания волны $\left(\mathrm{M}^{-1}\right)$, и уравнение волны будет иметь вид:
\[
\xi=a_{0} \mathrm{e}^{-\gamma x} \cos (\omega t-k x) .
\]

Уравнение плоской волны. Уравнения (1.1), (1.2), (1.8) описыват и плоскую волну в упругой среде. В плоской волне волновые поверхности (где точки среды колеблются в одинаковой фазе) имеют вид плоскостей. Когда говорят, что плоская волна распространяется вдоль оси $X$, то это надо понимать так, что ее волновые поверхности (плоскости) перпендикулярны этой оси.

Если же плоская волна распространяется в произвольном направлении, характеризуемом единичным вектором $\mathbf{n}$ (рис. 1.1), то
\[
\xi=f(t-l / v)=f(t-\mathbf{r n} / v),
\]

где $\mathbf{r n}=x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma, \alpha, \beta, \gamma-$ углы между вектором $\mathbf{n}$ и осями координат.
Для гармонической волны $\cos \omega(t-\mathbf{n r} / v)=\cos (\omega t-\mathbf{r n} \omega / v)$ и
\[
\xi=a \cos (\omega t-\mathbf{k r})
\]

Рис. 1.1
где $\mathbf{k}$ – волновой вектор:
\[
\mathbf{k}=(\omega / v) \mathbf{n}=(2 \pi / \lambda) \mathbf{n} .
\]

Заметим, что в отличие от волнового вектора, фазовая скорость $v$ не является вектором: в любом направлении, составляющем угол $\alpha$ с волновым вектором $\mathbf{k}$, скорость перемещения данной фазы равна $v / \cos \alpha>v$ (а не $v \cos \alpha$, как должно быть, если бы скорость являлась вектором). Игнорирование этого обстоятельства неизбежно приводит к различного рода недоразумениям.

При распространении волны в поглощающей среде в уравнения (1.10) и (1.11) нужно добавить экспоненциальный множитель $\mathrm{e}^{-\gamma l}=\mathrm{e}^{-\gamma \mathrm{nr}}$.

Сферическая и цилиндрическая волны. В однородной изотропной среде продольная волна от точечного источника представляет собой сферически расходящееся возмущение вида
\[
\xi=\frac{1}{r} f(t-r / v)
\]

где $r$ – расстояние от точечного источника. В частности, если источник возбуждает продольные монохроматические колебания, то предыдущее уравнение принимает вид
\[
\xi=\frac{a_{0}}{r} \cos (\omega t-k r),
\]

где $a_{0}$ – постоянная, $a_{0} / r$ – амплитуда волны. Ее волновые поверхности являются сферическими. Отметим, что в выражении (1.14) стоит именно $k$ (волновое число), а не волновой вектор $\mathbf{k}$, как для плоской гармонической волны.

Если учитывать поглощение среды, то в формулы (1.13) и (1.14) следует добавить множитель $\mathrm{e}^{-\gamma r}$.

Интересно, что при прохождении сферической волны в каждой точке среды всегда наблюдаются как сгущения, так и разряжения (в отличие от плоской волны, которая может состоять только из одних сгущений или разряжений).

Другой важный вид симметричной волны – цилиндрическая, расходящаяся например от источников, равномерно распределенных вдоль оси в однородной среде. Структура цилиндрической волны значительно сложнее сферической, и ее форма не повторяет временного поведения функции источника, как в случае сферической, – волна тянет за собой длинный «шлейф». $И$ только на больших расстояниях $R$ от источника (больших по сравнению с характерным параметром данной волны) ее можно представить в виде
\[
\xi=\frac{1}{\sqrt{R}} f(t-R / v)
\]

В частности, монохроматическая расходящаяся волна на расстояниях $R$, значительно превышающих ее длину волны, имеет вид
\[
\left.\xi=\frac{a}{\sqrt{R}} \cos (1)-k R\right),
\]

где $a$ – постоянная. Цилиндрическая волна, как и сферическая, непременно должна содержать как сгущения, так и разряжения.