Когерентность поляризованных волн. Если на кристаллическую пластинку, вырезанную параллельно оптической оси, нормально направить пучок естественного света, то из пластинки выйдут две волны с взаимно ортогональными плоскостями поляризации. Естественный свет – результат излучения различных независимых атомов источника света, испускающих отдельные некоррелированные друг с другом цуги волн. Эти цуги участвуют в образовании обыкновенной и необыкновенной волн в кристалле. Однако вклад каждого отдельного цуга в эти две волны, вообще говоря, не одинаков. Этот вклад больше в ту волну, плоскость поляризации которой составляет меньший угол с плоскостью поляризации данного цуга.

Другими словами, обыкновенная и необыкновенная волны в основном порождаются разными цугами, входящими в состав естественного света. Поэтому обыкновенная и необыкновенная волны, распространяющиеся в одноосном кристалле и выходящие из него (при падении естественного света), некогерентны.

Однако обе волны можно сделать когерентными, если на пути естественного света установить поляризатор $P$ перед кристаллической пластинкой, причем так, чтобы плоскость его пропускания составляла некоторый угол $\varphi
eq 0$ с оптической осью кристалла (обычно угол $\varphi$ делают равным $45^{\circ}$ ). В этом случае колебания каждого цуга разделяются между обыкновенной о и необыкновенной $е$ волнами. Именно поэтому волны $о$ и $е$ оказываютя когерентными – необходимое условие для их интерференции.

Интерференция поляризованных волн. Сказанного еще недостаточно, если мы задались целью наблюдать интерференцию этих волн. Дело в том, что интерференция никогда не наблюдается, если складываемые волны поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях. Выход простой: поставить на пути вышедшего из пластинки света еще один поляризатор. Он сведет два взаимно ортогональных когерентных колебания к одной плоскости. Интерференция будет обеспечена. Ее результат окажется в зависимости от оптической разности хода складываемых волн.

Итак, схема наблюдения интерференции поляризованных волн должна быть такой, как показано на рис. 6.19. Здесь $S-$

Рис. 6.19
обычный источник света, $P$ поляризатор, $K$ – кристаллическая одноосная пластинка, $P^{\prime}-$ второй поляризатор. Заметим, что если источник – лазер (он испускает уже плоскополяризованный свет), то необходимость в поляризаторе $P$ отпадает.

Далее мы рассмотрим вопрос об интенсивности I’ света, прошедшего через эту систему в двух наиболее простых и практически важных случаях, связанных с взаимной ориентацией плоскостей пропускания поляризаторов $P, P^{\prime}$ и оптической оси $O O^{\prime}$. Но предварительно напомним, что картина интерференции бывает наиболее отчетливой, когда амплитуды складываемых волн одинаковы. В нашем случае это означает, что угол $\varphi$ между плоскостью пропускания поляризатора $P$ и оптической осью $O O^{\prime}$ должен быть равным $45^{\circ}$ (о чем уже говорилось). В дальнейшем, если не будет специальных оговорок, будет предполагаться именно это значение угла $\varphi, \varphi=45^{\circ}$.

Теперь перейдем к рассмотрению двух частных случаев, когда плоскости пропускания обоих поляризаторов параллельны друг другу ( $P^{\prime} \| P$ ) и взаимно перпендикулярны ( $P^{\prime} \perp P$ ). В последнем случае говорят, что поляризаторы скрещены. Оба случая показаны на рис. 6.20 , где свет распространяется перпендикулярно плоскости рисунков.
Рис. 6.20
1. Случай $P^{\prime} \| P$ (рис. $6.20, a$ ). Здесь плоскополяризованная волна с амплитудой $E$ (после поляризатора $P$ ) разделяется пластинкой на обыкновенную и необыкновенную взаимно ортогональные волны с одинаковыми амплитудами $E_{o}$ и $E_{e}$. Затем колебания этих волн приводятся поляризатором $P^{\prime}$ к одной плоскости с одинаковыми амплитудами $E_{o}^{\prime}$ и $E_{e}^{\prime}$ :
\[
E_{o}^{\prime}=E_{e}^{\prime}=E / 2 .
\]

Результат интерференции этих волн будет зависеть, как уже говорилось, от разности фаз $\delta$, которую они приобретут в пластинке. С этой целью изобразим фазовую (векторную) диаграмму, показанную на рис. 6.21. Здесь предPис. 6.21 положено, что в кристаллической пластинке отстает по фазе на $\delta$ обыкновенная волна (это не существенно, могло быть и наоборот). Нас интересует $E^{\prime 2}$, поскольку именно эта величина определяет интенсивность прошедшей через поляризатор $P^{\prime}$ волны. Из рис. 6.21 согласно теореме косинусов с учетом (6.10), следует, что
\[
E^{\prime 2}=2\left(\frac{E}{2}\right)^{2}+2\left(\frac{E}{2}\right)^{2} \cos \delta=E^{2} \frac{1+\cos \delta}{2}=E^{2} \cos ^{2} \frac{\delta}{2} .
\]

Таким образом, при $P^{\prime} \| P$ интенсивность прошедшего света
\[
I_{\|}^{\prime}=I \cos ^{2} \frac{\delta}{2} .
\]
2. Случай $\boldsymbol{P}^{\prime} \perp \boldsymbol{P}$ (рис. 6.20 , б). Здесь следует отметить, что $E_{o}^{\prime}=E_{e}^{\prime}$ при любых значениях угла $\varphi$, но при $\varphi=45^{\circ}$ обе амплитуды будут максимальны (в этом легко убедиться с помощью зтого же рисунка), и, значит, результат интерференции будет выглядеть наиболее отчетливым. Так что и в этом случае оптимальным является $\varphi=45^{\circ}$.

Рис. 6.20 , б достаточно ясно показывает, что происходит с проходяцим светом в этом случае. Но здесь надо обратить внимание на тот факт, что векторы $E_{o}^{\prime}$ и $E_{e}^{\prime}$ направлены взаимно противоположно (даже при $\delta \rightarrow 0$ ). Это наводит на мысль, что, кроме разности фаз $\delta$, вносимой пластинкой, надо добавить еще $\pi$, которая обусловлена скрещенным расположением поляризаторов (это можно строго доказать и математически).

Тогда в формуле (6.12) надо вместо $\delta$ написать $\delta+\pi$, и мы получим вместо косинуса синус. В результате
\[
I_{\perp}^{\prime}=I \sin ^{2} \frac{\delta}{2} .
\]

Из формул (6.12) и (6.13) следует, что интенсивности $I_{\|}^{\prime}$ и $I_{\perp}^{\prime}$ оказываются \”дополнительными»: в сумме они дают интенсивность $I$ света, прошедшего через поляризатор $P$.

Если свет монохроматический и толщина кристаллической пластинки всюду одинакова, мы получим на выходе равномерную освещенность без характерных для интерференционной картины чередующихся светлых и темных полос. Здесь интерференция проявляет себя в перераспределении световой энергии между взаимно ортогональными плоскостями. Действительно, если например при параллельных плоскостях пропускания поляризаторов мы получаем максимум освещенности, то достаточно повернуть поляризатор $P^{\prime}$ на $90^{\circ}$, и мы получим «дополнительную\” освещенность: поле окажется темным. То же будет и наоборот.

Интенсивность выходящего из поляризатора $P^{\prime}$ света можно изменять, изменяя разность фаз $\delta$. Поскольку $\delta$ определяется как
\[
\delta=2 \pi \frac{h\left|n_{o}-n_{e}\right|}{\lambda},
\]

то изменения $\delta$ можно достигнуть либо меняя $\lambda$ – это приводит к эффектному изменению окраски (т. е. максимумы пропускания будут соответствовать различным длинам волн), либо меняя толщину $h$ пластинки. Последнее можно сделать, поставив вместо пластинки компенсатор (см. рис. 6.16).

Приведем сводную табличку (6.15), где указаны условия, при которых интенсивности $I_{\|}^{\prime}$ и $I_{\perp}^{\prime}$ достигают максимальных и минимальных значений:
Здесь $m=1,2,3, \ldots$, а $m^{\prime}=1,3,5, \ldots$, т. е. нечетные.

В этой табличке достаточно запомнить результаты для $I_{\|}^{\prime}$, а они сразу следуют из фазовой диаграммы (см. рис. 6.21). Результаты для $I_{\perp}^{\prime}$ \”дополнительные», т. е. противоположные.

Отметим, что во втором случае, когда поляризаторы скрещены ( $P^{\prime} \perp P$ ), установка весьма чувствительна к обнаружению анизотропии (двойного лучепреломления). Через два скрещенных поляризатора свет не проходит, и поле зрения оказывается темным. Если же между ними ввести какой-либо анизотропный кристалл, то даже при наличии слабой анизотропии система пропускает свет, и поле зрения просветляется. При этом надо проявлять осмотрительность: если случайно окажется, что оптическая ось кристалла будет параллельна или перпендикулярна плоскости пропускания поляризатора $P$, поле зрения останется темным. Поэтому ориентацию кристалла между скрещенными $P$ и $P^{\prime}$, вообще говоря, надо менять во избежание этой случайности.

До сих пор мы рассматривали интерференцию в плоскопараллельной пластинке, где интерференция проявляла себя в изменении интенсивности равномерно освещенного поля зрения (после поляризатора $P^{\prime}$ ). Но можно наблюдать интерференцию и в привычном виде чередующихся светлых и темных полос.
Пример. Поместим между двумя скрещенными поляризаторами кварцевый клин, оптическая ось которого параллельна его ребру и составляет угол $45^{\circ}$ с плоскостями пропускания поляризаторов. Выясним, что мы будем наблюдать при прохождении монохроматического света через эту систему.
По мере увеличения толщины клина мы будем наблюдать переход от одной светлой полосы к другой, т. е. систему чередующихся светлых и темных полос, параллельных ребру клина (рис. 6.22). Каждая светлая полоса соответствует полуволновой пластинке, зна-
чит в этих местах происходит по-
Рис. 6.22
ворот плоскости поляризации на $90^{\circ}$, и свет проходит через поляризатор $P^{\prime}$ (по условию $P^{\prime} \perp P$ ). Переход к каждому следующему максимуму соответствует изменению оптической разности хода $\Delta=\Delta h\left(n_{o}-n_{e}\right)$ на одну длину волны $\lambda$. Это позволяет легко найти, например, угол между гранями клина.

Заметим, что в белом свете картина будет весьма красочной: она будет состоять из разных оттенков, периодически повторяющихся в пространстве вдоль клина.