В предыдущем параграфе мы рассматривали с помощью принципа Гюйгенса-Френеля дифракцию сферической волны от круглого отверстия. Осевая симметрия задачи подсказывала выбор конфигурации зон, на которые мы разбивали открытую часть волновой поверхности – в виде круговых колец. Теперь перейдем к случаю, когда волновая поверхность плоская и характер препятствия (полуплоскость, щель) предписывает разбивать открытую часть волновой поверхности на зоны в виде прямолинейных полосок.
* Впоследствии Кирхгоф дал более строгую формулировку принципу Гюйгенса-Френеля, устраняющую формально почти все недостатоки теории Френеля.

Дифракция от прямолинейного края полуплоскости. Пусть на экран Э падает нормально плоская монохроматическая волна длины $\lambda$. Расположим перед экраном на расстоянии $l$ от него непрозрачную полуплоскость $N$ с прямолинейным краем (рис. 5.11). Если бы свет распространялся прямолинейно, то на экране Э мы наблюдали резкую тень от края этой полуплоскости (точка $P_{0}$ на рисунке). В действительности же из-за волнового характера света на экране $Э$ образуется сложная дифракционная картина.

Для расчета этой картины воспользуемся принципом Гюйгенса-Френеля. В данном случае в качестве интересующей нас волновой поверхности $S$ возьмем ту открытую ее часть, которая продолжает непрозрачную полуплоскость. Соответствующие расчеты были проведены аналитически Френелем, получены результаты в виде так называемых интегралов Френеля, и задача, таким образом, была решена.

Мы не будем воспроизводить здесь этот расчет и ограничимся лишь интерпретацией его и полученного результата с помощью векторной диаграммы. Это наиболее простой и наглядный метод, открывающий к тому же весьма эффективные практические применения.

Из соображений симметрии ясно, что дифракционная картина на экране Э будет зависеть только от расстояния до границы геометрической тени – точки $P_{0}$ на рис. 5.11, т. е. светлые и темные полосы должны быть параллельны прямолинейному краю $K$ непрозрачной полуплоскости $N$. Говоря далее об амплитуде колебаний в точке $P$ на экране, мы будем иметь в виду, что это относится ко всем точкам прямой, проходящей через точку $P$ и параллельной краю полуплоскости.

Сначала найдем амплитуду колебаний в точке $P_{0}$, которая находится на краю геометрической тени (рис. 5.11, a). Для этой точки (и только для нее) мы могли бы использовать разбиение открытой части волновой поверхности на полукольца – полузоны Френеля. Но поскольку нам предстоит определять амплитуду колебаний и в других точках экрана, то в соответствии с симметрией данной задачи разобьем мысленно открытую часть волновой поверхности $S$ на весьма узкие одинаковой ширины прямолинейные полоски (зоны), параллельные краю полуплоскости.

Амплитуду колебаний, приходящих в точку $P_{0}$ от первой зоны-полоски изобразим вектором $\mathrm{d} \mathbf{A}_{1}$ (рис. 5.12). Амплитуду колебаний от следующей полоски – вектором $\mathrm{d} \mathbf{A}_{2}$, повернутым на очень небольшой угол против часовой стрелки, так как эти колебания проходят до точки $P_{0}$ несколько большее расстояние и, значит, отстают по фазе.

В дальнейшем угол между соседними векторами-амплитудами становится все больше, поскольку запаздывание по фазе колебаний, приходящих в точку $P_{0}$ от последующих зон-полосок растет все больше. Модули же векторов $\mathrm{d} \mathbf{A}_{i}$ будут умень-
Рис. 5.12
шаться (из-за увеличения расстояния до $P_{0}$ и угла $\vartheta$ между нормалью к полоске и направлением на точку $P_{0}$ ).

Результирующая амплитуда колебаний в точке $P_{0}$ от достаточно широкой полосы волновой поверхности $S$ изобразится суммой (цепочкой) векторов $\mathrm{d} \mathbf{A}_{i}$ от всех укладывающихся на этой полосе элементарных зон-полосок. Это вектор А на рис. 5.12.

Спираль Корню. В пределе, когда ширина полосы стремится к бесконечности, т. е. превращается в полуплоскость, и ширина каждой элементарной зоны-полоски стремится к нулю, цепочка векторов превращается в плавную кривую, являющуюся правой половиной спирали Корню (рис. 5.13). Эта спираль состоит из двух симметричных ветвей, закручивающихся вокруг фокусов $F_{1}$ и $F_{2}$. Ее левая половина описывает действие колебаний, приходящих в точку $P_{0}$ от участков волновой поверхности (если бы они были открыты), лежащих левее края $K$ непрозрачной полуплоскости (см. рис. 5.11, a).
Амплитуда колебаний в точке $P_{0}$ от волновой поверхности, лежащей правее края $K$ непрозрачной полуплоскости, изобразится вектором, проведенным из точки $O$ в фокус $F_{2}$ спирали Корню. Амплитуда же колебаний в точке $P_{0}$ от полностью

открытой волновой поверхности – вектором, проведенным из фокуса $F_{1}$ в фокус $F_{2}$.

Для нахождения вектора-амплитуды колебаний в точке $P$, лежащей, например, правее точки $P_{0}$ (см. рис. 5.11 , б), от какой-либо полосы волновой поверхности, лежащей между координатами $x_{1}$ и $x_{2}$, нужно построить вектор, который замыкает соответствующий этой полосе участок спирали Корню.

Это делается так. Каждой точке спирали Корню соответствует определенное значение некоторого параметра $s$ (он пропорционален длине дуги спирали, отсчитываемой от точки $O$ на рис. 5.13). Значения параметра указаны вдоль кривой. Из аналитического расчета следует, что параметр $s$ связан с расстоянием $x$, отсчитываемым от точки $C$ до интересующей нас точки $D$ волновой поверхности $S$ (рис. 5.14) формулой
\[
s=x \sqrt{2 / l \lambda},
\]

где $\lambda$ – длина волны света, $l$ – расстояние между экраном Э и волновой поверхностью $S$, в плоскости которой расположено то или иное препятствие на пути световой волны.
Рис. 5.14

Обратим внимание на то, что параметр $s$ пропорционален расстоянию $x$. Значит, $x \sim s \sim$ длине дуги спирали Корню, отсчитываемой от точки $O$ (см. рис. 5.13) в соответствующую сторону (вправо или влево).

Теперь покажем как с помощью спирали Корню получить распределение интенсивности света на экране вблизи края геометрической тени при дифракции плоской волны от прямолинейного края непрозрачной полуплоскости $N$. Если точка $P$ находится правее точки $P_{0}$ (см. рис. 5.11, б), то правая часть волновой поверхности $S$ (от точки $C$ ) полностью открыта, и на спирали Корню амплитуда колебаний в точке $P$ соответствует вектору $D F_{2}$. Конец этого вектора находится в фокусе $F_{2}$, а начало – точка $D$ – в зависимости от положения точки $P$. Когда $P$ находится на краю геометрической тени (в точке $P_{0}$ ), точка $D$ совпадает с точкой $O$ на спирали Корню (см. рис. 5.13), и вектор-амплитуда соответствующих колебаний изобразится вектором $O F_{2}$, равным половине вектора $F_{1} F_{2}$ – от полностью открытой волновой поверхности $S$. Поэтому интенсивность света в точке $P_{0}$ в четыре раза меньше интенсивности $I_{0}$ в отсутствие непрозрачной полуплоскости.

При перемещении точки $P$ вправо от точки $P_{0}$ точка $D$ на спирали Корню (начало вектора $D F_{2}$ ) будет перемещаться по левой ветви спирали, так как слева от точки $C$ будут открываться все новые зоны-полоски. Это приводит к тому, что амплитуда и интенсивность в точке $P$ при удалении ее от $P_{0}$ будут последовательно проходить через максимумы и минимумы, различие между которыми постепенно уменьшается и интенсивность приближается к значению $I_{0}$ (рис. 5.15).

При перемещении точки $P$ влево от точки $P_{0}$ – в область геометрической тени, точка $D$ на спирали Корню перемещается
Рис. 5.15

вправо от точки $O$. Легко видеть, что длина вектора $D F_{2}$, а значит и интенсивность, будет монотонно уменьшаться до нуля (см. рис. 5.15).

Теперь покажем на конкретном примере как просто с помощью спирали Корню и формулы (5.9) решаются вопросы, связанные с распределением интенсивности при дифракции света от края непрозрачной полуплоскости.
Пример. Дифракцию плоской волны от края непрозрачной полуплоскости наблюдают на экране $Э$, отстоящем от полуплоскости $N$ на расстояние $l=100$ см. Длина волны света $\lambda=500$ нм. Найдем расстояние $\Delta x$ между первыми двумя максимумами на экране Э и интенсивность первого максимума, если интенсивность падающего света равна $I_{0}$.
Согласно формуле (5.9)
\[
\begin{array}{c}
\Delta x=x_{2}-x_{1}=\left(s_{2}-s_{1}\right) \sqrt{l \lambda / 2}= \\
=(2,3-1,2) \sqrt{1 \cdot 500 \cdot 10^{-9} / 2}=5,5 \cdot 10^{-4} \mathrm{M}=0,55 \mathrm{~mm} .
\end{array}
\]

С помощью рис. 5.13 и линейки находим, что отношение амплитуды 1-го максимума, т. е. расстояния между точками $G$ и $F_{2}$, к амплитуде падающего света $F_{1} F_{2}$ равно $\eta \approx 1,175$. Следовательно, интенсивность 1-го максимума
\[
I_{1}=\eta^{2} I_{0}=1,37 I_{0} .
\]

Следует отметить, что обычно точка наблюдения $P$ в лабораторных установках находится за непрозрачной полуплоскостью на расстоянии, не превышающем порядка одного метра. При этом для определения амплитуды результирующего колебания играет роль сравнительно небольшой участок волновой поверхности $S$, лежащий вблизи края полуплоскости. В таких условиях край практически любого препятствия можно считать прямолинейным и для расчета дифракционной картины успешно пользоваться спиралью Корню.

Дифракция от щели. Таким же образом – с помощью спирали Корню и формулы (5.9) – можно рассчитать распределение интенсивности в дифракционной картине от бесконечно длинной прямолинейной щели. Сама дифракционная картина на экране имеет симметричный относительно середины вид чередующихся светлых и темных полос, параллельных щели (предполагается, что плоская световая волна падает на щель нормально).

Рис. 5.16
С помощью той же спирали Корню легко убедиться в том, что при постепенном увеличении ширины щели интенсивность в середине дифракционной картины будет сначала иметь максимум, затем минимум, потом опять максимум и т. д. (рис. 5.16, а, б, в). Таким образом, мы будем наблюдать при этом последовательное чередование максимумов и минимумов (в середине картины), разность между которыми будет постепенно уменьшаться, стремясь к интенсивности $I_{0}$ падающего на щель света. Сама же дифракционная картина будет постепенно локализовываться только вблизи геометрической тени от краев щели.
Пример. На прямолинейную щель в непрозрачной преграде падает нормально плоская световая волна (рис. 5.17). Длина волны $\lambda=0,60$ мкм. Расстояние от щели до экрана $Э$ равно $l=50$ см. Найдем минимальную ширину $b$ щели, при которой в точке $P$ интенсивность будет максимальной.
Это означает, что амплитуда колебаний в точке $P$ должна быть максимальной, т. е. соответствующей рис. 5.16 , а. При этом параметр $s$ должен быть равным (см. рис. 5.13) $s \approx 1,3$. Согласно формуле (5.9) этому значению параметра $s$ отвечает расстояние $x=s \sqrt{l \lambda / 2}=0,5$ мм. Значит, искомая ширина щели Pис. 5.17 $b=2 x=1$ мм.
Отметим, что в отличие от спирали Френеля, которая давала возможность решать вопросы об интенсивности только в одной точке дифракционной картины, спираль Корню позволяет в ряде случаев находить распределение интенсивности во всех точках дифракционной картины.