Дисперсию света можно объяснить на основе электромагнитной теории и электронной теории вещества. Строго говоря, движение (точнее – поведение) электронов в атоме подчиняется законам квантовой физики. Однако для качественного понимания дисперсии света достаточно ограничиться классическими представлениями, которые, как это ни удивительно, приводят к тем же результатам, что и квантовая теория.

Итак, поставим перед собой задачу объяснить ход зависимости $n(\omega)$. Мы знаем, что в изотропной немагнитной среде $n=\sqrt{\varepsilon}$. В свою очередь $\varepsilon$ можно найти из соотношения $\varepsilon=1+x$, где $x-$ диэлектрическая восприимчивость, которая является коэффициентом в соотношении $\mathbf{P}=\varkappa \varepsilon_{0} \mathbf{E}, \mathbf{P}$ – поляризованность, т. е. дипольный момент единицы объема. Таким образом,
\[
\varepsilon=1+\frac{P_{x}(t)}{\varepsilon_{0} E_{x}(t)},
\]

где $P_{x}$ – проекция вектора $\mathbf{P}$ на ось $X$, вдоль которой совершаются колебания вектора $\mathbf{E}$.

Известно, что $P_{x}=n_{0} p_{x}$, где $n_{0}-$ концентрация диполей, $p_{x}$ – поекция дипольного момента отдельного диполя. В дальнейшем мы будем рассматривать простейшую модель вещества, состоящего из не взаимодействующих друг с другом атомов. Каждый атом представляет собой ядро, окруженное быстро движущимися электронами, которые в совокупности как бы \”размазаны\” по сферической симметричной области вокруг ядра. Поэтому принято говорить, что ядро с зарядом $q$ окружено «электронным облаком» с зарядом $-q$.

В отсутствие внешнего поля $\mathbf{E}$ центр электронного облака совпадает с ядром, и дипольный момент атома равен нулю. При наличии же внешнего поля $\mathbf{E}$ электронное облако смещается отнсительно практически неподвижного ядра, и возникает дипольный момент $\mathbf{p}=q \mathbf{l}$, где $q>0$, a $\mathbf{l}$ – вектор, проведенный из центра «облака» к ядру. Проекция вектора $\mathbf{p}$ на ось $X$ равна
\[
p_{x}=q l_{x}=q(-x)=-q x,
\]

здесь $x$ – смещение центра «облака» из положения равновесия, т.е. относительно ядра. Заметим, что центр «облака» ведет себя как точечный заряд $-q$.
С учетом (7.4) выражение (7.3) можно представить так:
\[
\varepsilon=1+\frac{n_{0}(-q x)}{\varepsilon_{0} E_{x}} .
\]

Как видно, задача сводится к определению $x(t)$ под действием $E_{x}(t)$.

Для этого запишем уравнение движения электронного облака как
\[
m \ddot{x}=-k x-r \dot{x}+q E_{m} \cos \omega t,
\]

где $m$ – масса электронного облака, а справа записаны проекции на ось $X$ квазиупругой силы, силы «сопротивления», обусловленной чем-то вроде «трения» облака о ядро, и вынуждающей силы со стороны гармонической электромагнитной волны частоты $\omega$. Магнитной составляющей этой силы мы пренебрегаем, поскольку в нерелятивистском случае она ничтожно мала.
Разделив уравнение (7.6) на $m$, приведем его к виду
\[
\ddot{x}+2 \beta \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=f_{m} \cos \omega t,
\]

где $\omega_{0}^{2}=k / m, 2 \beta=r / m, f_{m}=q E_{m} / m$.
Для теории дисперсии имеет значение не общее, а только частное (установившееся) решение уравнения (7.7):
\[
x=a \cos (\omega t-\varphi),
\]

где $a$ – амплитуда колебаний, $\varphi$ – разность фаз между смещением $x$ и «силой» $f_{m} \cos \omega t$. Подстановка этого решения в уравнение (7.7) позволяет с помощью векторной диаграммы найти значения амплитуды $a$ и разности фаз $\varphi$, а именно
\[
a=\frac{f_{m}}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \beta^{2} \omega^{2}}}, \quad \operatorname{tg} \varphi=\frac{2 \beta \omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}
\]
(решение уравнения (7.7) подробно рассматривается в теории колебаний).

Ограничимся простейшим случаем, когда $2 \beta \omega \ll\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)$, т. е. когда вынуждающая частота (поля) не очень близка к собственной частоте $\omega_{0}$ колебаний электронного облака и коэффициент $\beta$, характеризующий затухание, достаточно мал. В этом случае, если $\omega<\omega_{0}$, то
\[
x(t)=\frac{f_{m}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} \cos \omega t .
\]

Такой же результат будет и при $\omega>\omega_{0}$, когда $\varphi=\pi$.

Остается подставить (7.10) в (7.5) и учесть, что вынуждающая сила в (7.6) $q E_{m} \cos \omega t=-q E_{x}$. В результате получим:

где $b=n_{0} q^{2} / \varepsilon_{0} m=N_{0} e^{2} / \varepsilon_{0} m_{e}, N_{0}$ – концентрация электронов (здесь учтено, что $q=Z e, m=Z m_{e}$ и $N_{0}=Z n_{0}, Z$ – число электронов в атоме).

Разрыв функции $\varepsilon(\omega)$ при $\omega=\omega_{0}$ и обращение ее в $\pm \infty$ не имеют физического смысла, это получилось вследствие игнорирования затухания ( $\beta \rightarrow 0$ ). Если же его учесть, то ход кривой будет иным (рис. 7.5) и достаточно хорошо подтверждается экспериментально (сравните с рис. 7.4). Зависимость $x(\omega)$
Рис. 7.5

характеризует полосу поглощения. Как раз с ней совпадает область аномальной дисперсии ( $\mathrm{d} n / \mathrm{d} \omega<0$ ).

Заметим, что собственных частот $\omega_{0 i}$ может быть несколько в атоме, соответственно будет и несколько областей аномальной дисперсии. Кроме того, как видно из рис. 7.5, при $\omega>\omega_{0}$ показатель преломления ( $n=\sqrt{\varepsilon}$ ) будет меньше единицы, а это значит, что фазовая скорость электромагнитной волны $v=c / n$ оказывается больше $c$ ! Подобное имеет место в плазме, где $\omega_{0}=0$ (электроны свободные), и для рентгеновского излучения ( $\omega » \omega_{0}$ ). Никакого противоречия с теорией относительности здесь нет. Последняя утверждает, что скорость сигнала (импульса) не может превышать $c$. Понятие же показателя преломления применимо к монохроматическим электромагнитным волнам, бесконечным в пространстве и во времени. Такие волны не могут служить для передачи сигнала, а кроме того, их в принципе невозможно осуществить.

Из выражения (7.11) вытекает и еще одно неожиданное следствие для случая, когда $\omega_{0}=0$ (например, в той же плазме). При этом условии, когда частота электромагнитной волны $\omega \leqslant \sqrt{b}$, оказывается, что диэлектрическая проницаемость $\varepsilon(\omega) \leqslant 0$, а следовательно, показатель преломления для таких частот ( $n=\sqrt{\varepsilon}$ ) становится мнимым, и его можно представить как $n=\mathrm{i}$. Выясним, что это означает.

Запишем уравнение электромагнитной волны в комплексной форме:
\[
\hat{E}=E_{0} \mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x-\omega t)},
\]

где $k=2 \pi / \lambda, \lambda$ – длина волны в среде. Если длина волны в вакууме $\lambda_{0}$, то $\lambda=\lambda_{0} / n$, и
\[
k=\frac{2 \pi}{\lambda_{0}} n=\mathrm{i} k_{0} x,
\]

где $k_{0}=2 \pi / \lambda_{0}$. Подставив это выражение для $k$ в исходное уравнение волны $\hat{E}(x, t)$, получим:
\[
\hat{E}=E_{0} \mathrm{e}^{-x k_{0} x} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t},
\]

или для действительной части
\[
E=E_{0} \mathrm{e}^{-x k_{0} x} \cos \omega t .
\]

Видно, что в рассматриваемом случае мы имеем стоячую волну, амплитуда которой экспоненциально затухает ${ }^{*}$ Фактически это означает, что излучение при $\varepsilon<0$ не может пройти через плазму и происходит полное отражение его в пограничном слое. На этом, кстати, основан метод определения концентрации электронов в плазме.
Пример. При зондировании разреженной плазмы радиоволнами различных частот обнаружили, что радиоволны с частотами, меньшими, чем $v_{0}=400 \mathrm{M \Gamma ц}$ не проходят через плазму. Найдем концентрацию свободных электронов в этой плазме.
Радиоволны не проходят через плазму, а отражаются от нее, как мы выяснили, при мнимом показателе преломления, т. е. при значении диэлектрической проницаемости $\varepsilon \leqslant 0$. Имея в виду (7.11) и учитывая, что для свободных электронов $\omega_{0}=0$, получим:
\[
\varepsilon(\omega)=1-\frac{N_{0} e^{2}}{\varepsilon_{0} m_{e} \omega^{2}} \leqslant 0 .
\]
* В общем случае вводят комплексный показатель преломления $\hat{n}=n+\mathrm{i}$, где $n$ определяет фазовую скорость волны $v=c / n$, а мнимую часть называют показателем затухания. Он характеризует затухание волны по мере ее распространения. Затухание не обязательно связано с поглощением электромагнитной волны, примером тому служит разобранный пример.

Отсюда каходим искомую концентрацию свободных электронов:
\[
N_{0}=\varepsilon_{0} m_{e} \omega^{2} / e^{2}=4 \pi^{2} \varepsilon_{0}
u_{0}^{2} / e^{2}=2,0 \cdot 10^{9} \mathrm{~cm}^{-3} .
\]