Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Перепишем уравнения Максвелла (2.2) и (2.3) в форме более удобной для дальнейшего анализа, имея в виду, что роторы $\mathbf{E}$ и Н можно представить в виде определителей (как векторное произведение двух векторов): \[ abla \times \mathbf{E}=\left|\begin{array}{ccc} где $\mathbf{e}_{\mathbf{x}}, \mathbf{e}_{\mathbf{y}}, \mathbf{e}_{\mathbf{z}}$ – орты осей $X, Y, Z$. Из условий $\partial E_{x} / \partial x=0$ и $\dot{E}_{x}=0$ следует, что $E_{x}$ не зависит ни от $x$, ни от $t$ (аналогично и для $H_{x}$ ). Это значит, что отличные от нуля $E_{x}$ и $H_{x}$ могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями, накладывающимися на поле волны. А для переменного поля плоской волны $E_{x}=0$ и $H_{x}=0$, т. е. векторы Е и $\mathbf{H}$ перпендикулярны направлению распространения волны – оси $X$. Значит, электромагнитная волна является noneречной. Кроме того, оказывается, векторы $\mathbf{E}$ и $Н$ в электромагнитной волне взаимно ортогональны. Чтобы убедиться в этом, объединим средние уравнения (2.11), содержащие, например, $E_{y}$ и $H_{z}$, в пару: (можно было бы взять и другую пару, содержащую производные $E_{z}$ и $H_{y}$ ). Из этих уравнений видно, что изменение во времени, скажем, магнитного поля, нащравленного вдоль оси $Z$, порождает электрическое поле $E_{y}$ вдоль оси $Y$. Изменение во времени поля $E_{y}$ в свою очередь порождает поле $H_{z}$ и т. д. Ни поля $E_{z}$, ни поля $H_{y}$ при этом не возникает. А это и значит, что $\mathbf{E} \perp \mathbf{H}$. Связь мгновенных значений $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$. В нашем случае, когда плоская волна распространяется вдоль оси $X$, например, в ее положительном направлении, где $E_{y}$ и $H_{z}$ – некоторые функции, характеризующие форму волны. Введя обозначение $\varphi=t-x / v$, найдем производные $E_{y}$ по $x$ и $H_{z}$ по $t$ – в соответствии с (2.12): Подставив эти выражения в первое уравнение (2.12), получим: или с учетом того, что $v=1 / \sqrt{\varepsilon \varepsilon_{0} \mu \mu_{0}}$, Отсюда следует, что $\sqrt{\varepsilon \varepsilon_{0}} E_{y}=\sqrt{\mu_{0}} H_{z}+$ const, где произвольная константа обусловлена наличием постоянного электрического и магнитного полей. Нас интересует только переменное поле, поэтому const $=0$, в результате мы получим: Это выражение означает, что $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ не только взаимно ортогональны, но и составляют правовинтовую систему с направлением распространения: мы ведь рассмотрели случай, когда волна распространяется в положительном направлении оси $X$ (рис. 2.1). Рис. 2.1 Кроме того, $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$, согласно (2.14), изменяются при этом синфазно: $E_{y}$ и $H_{z}$ одинаковы в каждый момент по знаку, одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают максимума, что и показано на рис. 2.2 – мгновенная картина в некоторый момент. Заметим, что если бы мы рассмотрели волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси $X$, то $E_{y}$ и $H_{z}$ изменялись бы в противофазе $\left(\sqrt{\varepsilon \varepsilon_{0}} E_{y}=-\sqrt{\mu \mu_{0}} H_{z}\right)$. Однако по-прежнему оба вектора, $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$, составляли бы правовинтовую систему с направлением распространения. Это же относится и к случаю, когда $\mathbf{E}$ направлен вдоль оси $Z$, а $\mathrm{H}$ – вдоль оси $Y$, т. е. их проекции $E_{z}$ и $H_{y}$. Выяснив эти детали, индексы $y$ и $z$ у проекций векторов $\mathbf{E}$ и Н можно не писать (как это обычно и делают). Поэтому уравнение, например, плоской бегущей гармонической волны – она представляет особый интерес – записывают так: где знак минус в скобках означает, что волна распространяется в положительном направлении оси $X$. В этих выражениях $\omega-$ круговая (циклическая) частота колебаний, $k$ – волновое число ( $k=2 \pi / \lambda, \lambda$ – длина волны). Заметим, что когда говорят, что плоская волна распространяется, например, в положительном направлении оси $X$, то это означает, что с этим направлением совпадает ее волновой вектор $\mathbf{k}$ или, другими словами, ее волновые поверхности ортогональны оси $X$. Но при этом колебания распространяются очевидно и в других направлениях. Пример. Плоская гармоническая электромагнитная волна распространяется в вакууме так, что ее волновой вектор $\mathbf{k}$ перпендикулярен оси $Z$ и составляет угол $\alpha=60^{\circ}$ с ортом оси $X$. Найдем скорость распространения колебаний вдоль оси $X$. Пример. В вакууме распространнется гармоническая плоская электромагнитная волна, электрическая составляющая которой имеет вид Найдем вектор-амплитуду магнитной составляющей этой волны, $\mathbf{H}_{m}$.
|
1 |
Оглавление
|