Перепишем уравнения Максвелла (2.2) и (2.3) в форме более удобной для дальнейшего анализа, имея в виду, что роторы $\mathbf{E}$ и Н можно представить в виде определителей (как векторное произведение двух векторов):

\[
\begin{array}{c}

abla \times \mathbf{E}=\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{e}_{x} & \mathbf{e}_{y} & \mathbf{e}_{z} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
E_{x} & E_{y} & E_{z}
\end{array}\right|=-\mu \mu_{0} \dot{\mathbf{H}}, \quad
abla \times \mathbf{H}=\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{e}_{x} & \mathrm{e}_{y} & \mathrm{e}_{z} \\
\partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\
H_{x} & H_{y} & H_{z}
\end{array}\right|=\varepsilon \varepsilon_{0} \dot{\mathbf{E}}, \\
\frac{\partial}{\partial x} E_{x}+\frac{\partial}{\partial y} E_{y}+\frac{\partial}{\partial z} E_{z}=0, \quad \frac{\partial}{\partial x} H_{x}+\frac{\partial}{\partial y} H_{y}+\frac{\partial}{\partial z} H_{z}=0,
\end{array}
\]

где $\mathbf{e}_{\mathbf{x}}, \mathbf{e}_{\mathbf{y}}, \mathbf{e}_{\mathbf{z}}$ — орты осей $X, Y, Z$.
Установим основные свойства электромагнитной волны на примере плоской волны. Направим ось $X$ перпендикулярно волновым поверхностям. При этом $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$, а значит и их проекции на оси $Y$ и $Z$, не будут зависеть от координат $y$ и $z$, т. е. соответствующие производные по $y$ и $z$ будут равны нулю. Поэтому уравнения (2.9) и (2.10) упрощаются (останутся только производные по $x$ ) и принимают вид:
\[
\begin{array}{l}
0=\mu \mu_{0} \dot{H}_{x}, \quad 0=\varepsilon \varepsilon_{0} \dot{E}_{x}, \\
-\partial E_{z} / \partial x=-\mu \mu_{0} \dot{H}_{y}, \quad-\partial H_{z} / \partial x=\varepsilon \varepsilon_{0} \dot{E}_{y}, \\
\partial E_{y} / \partial x=-\mu \mu_{0} \dot{H}_{z}, \quad \partial H_{y} / \partial x=\varepsilon \varepsilon_{0} \dot{E}_{z}, \\
\partial E_{x} / \partial x=0, \quad \partial H_{x} / \partial x=0 . \\
\end{array}
\]

Из условий $\partial E_{x} / \partial x=0$ и $\dot{E}_{x}=0$ следует, что $E_{x}$ не зависит ни от $x$, ни от $t$ (аналогично и для $H_{x}$ ). Это значит, что отличные от нуля $E_{x}$ и $H_{x}$ могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями, накладывающимися на поле волны. А для переменного поля плоской волны $E_{x}=0$ и $H_{x}=0$, т. е. векторы Е и $\mathbf{H}$ перпендикулярны направлению распространения волны — оси $X$. Значит, электромагнитная волна является noneречной.

Кроме того, оказывается, векторы $\mathbf{E}$ и $Н$ в электромагнитной волне взаимно ортогональны. Чтобы убедиться в этом, объединим средние уравнения (2.11), содержащие, например, $E_{y}$ и $H_{z}$, в пару:
\[
\partial E_{y} / \partial x=-\mu \mu_{0} \dot{H}_{z}, \quad \partial H_{z} / \partial x=-\varepsilon \varepsilon_{0} \dot{E}_{y}
\]

(можно было бы взять и другую пару, содержащую производные $E_{z}$ и $H_{y}$ ). Из этих уравнений видно, что изменение во времени, скажем, магнитного поля, нащравленного вдоль оси $Z$, порождает электрическое поле $E_{y}$ вдоль оси $Y$. Изменение во времени поля $E_{y}$ в свою очередь порождает поле $H_{z}$ и т. д. Ни поля $E_{z}$, ни поля $H_{y}$ при этом не возникает. А это и значит, что $\mathbf{E} \perp \mathbf{H}$.

Связь мгновенных значений $\boldsymbol{E}$ и $\boldsymbol{H}$. В нашем случае, когда плоская волна распространяется вдоль оси $X$, например, в ее положительном направлении,
\[
E_{y}=E_{y}(t-x / v), \quad H_{z}=H_{z}(t-x / v),
\]

где $E_{y}$ и $H_{z}$ — некоторые функции, характеризующие форму волны. Введя обозначение $\varphi=t-x / v$, найдем производные $E_{y}$ по $x$ и $H_{z}$ по $t$ — в соответствии с (2.12):
\[
\frac{\partial E_{y}}{\partial x}=\frac{\partial E_{y}}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{\partial E_{y}}{\partial \varphi}\left(-\frac{1}{v}\right) ; \quad \frac{\partial H_{z}}{\partial t}=\frac{\partial H_{z}}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial t}=\frac{\partial H_{z}}{\partial \varphi} \cdot 1 .
\]

Подставив эти выражения в первое уравнение (2.12), получим:
\[
\frac{1}{v} \frac{\partial E_{y}}{\partial \varphi}=\mu \mu_{0} \frac{\partial H_{z}}{\partial \varphi},
\]

или с учетом того, что $v=1 / \sqrt{\varepsilon \varepsilon_{0} \mu \mu_{0}}$,
\[
\sqrt{\varepsilon \varepsilon_{0}} \frac{\partial E_{y}}{\partial \varphi}=\sqrt{\mu \mu_{0}} \frac{\partial H_{z}}{\partial \varphi} .
\]

Отсюда следует, что $\sqrt{\varepsilon \varepsilon_{0}} E_{y}=\sqrt{\mu_{0}} H_{z}+$ const, где произвольная константа обусловлена наличием постоянного электрического и магнитного полей. Нас интересует только переменное поле, поэтому const $=0$, в результате мы получим:

Это выражение означает, что $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ не только взаимно ортогональны, но и составляют правовинтовую систему с направлением распространения: мы ведь рассмотрели случай, когда волна распространяется в положительном направлении оси $X$ (рис. 2.1).

Рис. 2.1
Рис. 2.2

Кроме того, $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$, согласно (2.14), изменяются при этом синфазно: $E_{y}$ и $H_{z}$ одинаковы в каждый момент по знаку, одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают максимума, что и показано на рис. 2.2 — мгновенная картина в некоторый момент.

Заметим, что если бы мы рассмотрели волну, распространяющуюся в отрицательном направлении оси $X$, то $E_{y}$ и $H_{z}$ изменялись бы в противофазе $\left(\sqrt{\varepsilon \varepsilon_{0}} E_{y}=-\sqrt{\mu \mu_{0}} H_{z}\right)$. Однако по-прежнему оба вектора, $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$, составляли бы правовинтовую систему с направлением распространения. Это же относится и к случаю, когда $\mathbf{E}$ направлен вдоль оси $Z$, а $\mathrm{H}$ — вдоль оси $Y$, т. е. их проекции $E_{z}$ и $H_{y}$.

Выяснив эти детали, индексы $y$ и $z$ у проекций векторов $\mathbf{E}$ и Н можно не писать (как это обычно и делают). Поэтому уравнение, например, плоской бегущей гармонической волны — она представляет особый интерес — записывают так:
\[
E=E_{m} \cos (\omega t-k x), \quad H=H_{m} \cos (\omega t-k x),
\]

где знак минус в скобках означает, что волна распространяется в положительном направлении оси $X$. В этих выражениях $\omega-$ круговая (циклическая) частота колебаний, $k$ — волновое число ( $k=2 \pi / \lambda, \lambda$ — длина волны).

Заметим, что когда говорят, что плоская волна распространяется, например, в положительном направлении оси $X$, то это означает, что с этим направлением совпадает ее волновой вектор $\mathbf{k}$ или, другими словами, ее волновые поверхности ортогональны оси $X$. Но при этом колебания распространяются очевидно и в других направлениях.

Пример. Плоская гармоническая электромагнитная волна распространяется в вакууме так, что ее волновой вектор $\mathbf{k}$ перпендикулярен оси $Z$ и составляет угол $\alpha=60^{\circ}$ с ортом оси $X$. Найдем скорость распространения колебаний вдоль оси $X$.
Изобразив рисунок, аналогичный рис. 1.1, найдем, что искомая скорость $v=c / \cos \alpha=2 c$ ! Полученный результат не противоречит теории относительности: фазовая скорость может быть любой, в отличие от скорости сигнала, которая не может быть больше $c$ — скорости света в вакууме.
Теперь рассмотрим пример, относящийся к формуле (2.14) — тоже на связь амплитуд электрической и магнитной составляющих волны, но не в скалярном, а в векторном виде.

Пример. В вакууме распространнется гармоническая плоская электромагнитная волна, электрическая составляющая которой имеет вид
\[
\mathbf{E}=\mathbf{e}_{z} E_{n} \cos (\omega t-\mathbf{k r}) .
\]

Найдем вектор-амплитуду магнитной составляющей этой волны, $\mathbf{H}_{m}$.
Видно, что данная волна распространяется в направлении вектора k. Значит, три вектора, $\mathbf{E}_{m}, \mathbf{H}_{m}$, k должны составлять правовинтовую систему (см. рис. 2.1). Отсюда следует, что вектор $\mathbf{H}_{m}$ должен быть сонаправлен с вектором [kE], направление которого совпадает с ортом $\left[\mathbf{n}_{k} \mathbf{e}_{z}\right.$ ], где орт $\mathbf{n}_{k}=\mathbf{k} / k$. Остается найти модуль вектора $\mathbf{H}_{m}$, т. е. воспользоваться формулой (2.14): $H_{m}=\sqrt{\varepsilon_{0} / \mu_{0}} E_{m}$. В результате получим:
\[
\mathbf{H}_{m}=\left[\mathbf{n}_{k} \mathbf{e}_{z}\right] \sqrt{\varepsilon_{0} / \mu_{0}} E_{m} .
\]