Соотношения между амплитудами и фазами. Выясним, что происходит при падении плоской электромагнитной волны на границу раздела двух однородных изотропных прозрачных дизлектриков, магнитная проницаемость которых равна единице $(\mu=1)$. Известно, что при этом возникают отраженная и преломленная волны. Ограничимся рассмотрением частного, но практически важного случая, когда волна падает нормально на границу раздела диэлектриков с показателями преломления $n_{1}$ и $n_{2}$.

Обозначим электрическую составляющую в падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно через $\mathbf{E}, \mathbf{E}$ и $\mathbf{E}^{\prime \prime}$, а магнитную составляющую – через $\mathbf{H}, \mathbf{H}^{\prime}$ и $\mathbf{H}^{\prime \prime}$. Из соображений симметрии ясно, что колебания векторов $\mathbf{E}, \mathbf{E}$ и $\mathbf{E}^{\prime \prime}$ происходят в одной плоскости. Это же относится и к векторам Н, Н’ и H\” $^{n}$. На рис. 3.3 показаны относительное расположение этих векторов в непосредственной близости от границы раздела и направления распространения всех трех волн, обозначенные векторами $\mathbf{k}, \mathbf{k}^{\prime}$ и $\mathbf{k}^{\prime \prime}$. Дальнейший расчет покажет, насколько эта картина соответствует действительности.

Воспользуемся граничными условиями для тангенциальных составляющих векторов Е и $\mathbf{H}$ :
\[
E_{1 y}=E_{2 y}, \quad H_{1 z}=H_{2 z} .
\]

Рис. 3.3
Перепишем эти условия для нашего случая:
\[
\begin{array}{c}
E_{y}+E_{y}^{\prime}=E_{y}^{\prime \prime}, \\
H_{z}+H_{z}^{\prime}=H_{z}^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Согласно (2.14), $H_{z} \sim \sqrt{\varepsilon} E_{y}=n_{1} E_{y}, H_{z}^{\prime \prime} \sim n_{2} E_{y}^{n}$, но $H_{z}^{\prime} \sim-n_{1} E_{y}^{\prime}$, поскольку проекции $E_{y}^{\prime}$ и $H_{z}^{\prime}$ в отраженной волне имеют противоположные знаки (см. рис. 3.3). Поэтому равенство (3.9) можно переписать так: $n_{1} E_{y}-n_{1} E_{y}^{\prime}=n_{2} E_{y}^{\prime \prime}$, или
\[
E_{y}-E_{y}^{\prime}=\left(n_{2} / n_{1}\right) E_{y}^{\prime \prime} .
\]

Решив совместно уравнения (3.8) и (3.10), получим выражения для $E_{y}^{\prime}$ и $E_{y}^{\prime \prime}$ через $E_{y}$, которые в векторной форме имеют вид:
\[
\mathbf{E}^{\prime}=\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}} \mathbf{E}, \quad \mathbf{E}^{n}=\frac{2 n_{1}}{n_{1}+n_{2}} \mathbf{E} .
\]

Отсюда следует, что:
1. Вектор $\mathbf{E}^{\prime \prime}$ всегда сонаправлен с вектором $\mathbf{E}$, т. е. оба вектора колеблются синфазно – при прохождении волны через границу раздела фаза не претерпевает скачка.
2. Это же относится и к векторам $\mathbf{E}$ и $\mathbf{E}$, но при условии, что $n_{1}>n_{2}$, т. е. если волна переходит в оптически менее плотную среду. В случае же, когда $n_{1}<n_{2}$, дробь в выражении (3.11) для

E оказывается отрицательной, а это означает, что направление вектора $\mathbf{E}^{\prime}$ противоположно направлению вектора $\mathbf{E}$, т. е. колебания вектора $\mathbf{E}$ происходят в противофазе с колебаниями вектора $\mathbf{E}$ (этому соответствует рис. 3.3). Другими словами, при отражении волны от оптически более плотной среды ее фаза изменяется скачком на $\pi$.

Эти результаты мы будем использовать в дальнейшем при изучении интерференции волн, отраженных от обеих поверхностей тонких пластинок.

Коэффициенты отражения и пропускания. Вопрос об этих коэффициентах мы рассмотрим для случая нормального падения световой волны на границу раздела двух прозрачных диэлектриков. Ранее мы выяснили, что интенсивность $I$ гармонической волны, согласно (3.6), пропорциональна $\sqrt{\varepsilon} E_{m}^{2}$, или $I \sim n E_{m}^{2}$. Коэффициент отражения, по определению, есть $\rho=I^{\prime} / I=n_{1} E_{m}^{\prime 2} / n_{1} E_{m}^{2}$. После подстановки отношения $E_{m}^{\prime} / E_{m}$ из первой формулы (3.11), найдем:
\[
\rho=\frac{I^{\prime}}{I}=\left(\frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}\right)^{2} .
\]

Обратим внимание на то, что $\rho$ не зависит от направления падающей волны на границу раздела: из среды 1 в среду 2 , или наоборот.

Аналогично находим и коэффициент пропускания $\tau$ как отношение $I^{\prime \prime} / I$. Согласно (3.6), $I^{\prime \prime} / I=n_{2} E_{m}^{\prime \prime 2} / n_{1} E_{m}^{2}$. Остается учесть вторую формулу из (3.11), и мы получим, что коэффициент пропускания
\[
\tau=\frac{I^{\prime \prime}}{I}=\frac{4 n_{1} n_{2}}{\left(n_{1}+n_{2}\right)^{2}} .
\]

Нетрудно убедиться в том, что сумма обоих коэффициентов $\rho+\tau=1$, как и должно быть.

При нормальном (или близком к нему) падении световой волны на границу раздела воздух ( $n_{1} \approx 1$ ) и стекло ( $n_{2} \approx 1,5$ ) получим $\rho=0,04$, т. е. отражается около $4 \%$ падающего света.

Заметим (это важно!), что если свет падает не по нормали к границе раздела, то коэффициент пропускания должен определяться через отношение не интенсивностей, а потоков, поскольку сечения падающего и преломленного пучков в этом случае различны, в отличие от падающего и отраженного. В связи с этим падающий поток $\Phi=\Phi^{\prime}+\Phi^{\prime \prime}$, но $I
eq I^{\prime}+I^{\prime \prime}$. Итак, в общем случае $\tau=\Phi^{\prime \prime} / \Phi$.