В предыдущем параграфе была описана принципиальная схема для наблюдения интерференции света от обычных (не лазерных) источников. Оказывается, однако, что идея, лежащая в основе таких схем, выражает только необходимые условия, но не достаточные. Для получения интерференционной картины необходимо еще, чтобы были удовлетворены некоторые условия, связанные с особыми свойствами световых волн. Выясним, в чем они заключаются.

Напомним, когерентностью называют согласованное протекание колебательных (волновых) процессов. Степень согласованности называют степенью когерентности: чем лучше согласованность, тем выше степень когерентности.

Различают длину и ширину когерентности ${ }^{\star}$. В чем их существо и различие мы покажем на примере первой экспериментальной установки для демонстрации интерференции, предложенном Юнгом (опыт Юнга). В ней яркий пучок солнечного
* Эти характеристики связаны с так называемыми временной и пространственной когерентностями.

Рис. 4.3
света освещал узкую щель $S$ (рис. 4.3). Прошедший через щель свет вследствие дифракции образует расходящуюся волну, которая падает на две узкие щели $S_{1}$ и $S_{2}$. Эти щели действуют как вторичные когерентные источники, и исходящие из них дифрагированные волны, перекрываясь, дают на экране Э систему интерференционных полос.

Для получения устойчивой во времени интерференционной картины необходимо, чтобы геометрия установки удовлетворяла определенным условиям, связанным со свойствами используемого излучения, а именно с его длиной и шириной когерентности. Или наоборот, для данной геометрии установки обеспечивают определенные значения этих характеристик используемой световой волны. Тем самым достаточность условий будет обеспечена, и устойчивую интерференционную картину можно наблюдать.

Рассмотрим подробнее, что представляют собой длина и ширина когерентности.

Длина когерентности. В опыте Юнга интерференционная картина по мере удаления от ее середины размывается: несколько полос видны, но далее постепенно они исчезают. Почему?

Ответ ясен: потому, что степень когерентности складываемых в этих точках экрана колебаний (волн) постепенно уменьшается, и колебания становятся наконец полностью некогерентными.

Исходя из этого факта, попытаемся объяснить наблюдаемое с помощью следующей наглядной модели. Пусть мы видим, например, первые четыре порядка интерференции ( $m=4$ ), а затем полосы исчезают (этот переход наблюдается довольно плавным, но мы не будем останавливаться на деталях). Исчезновение полос с $m>4$ означает, что колебания, пришедшие в соответствующие точки экрана от обеих волн, оказываются уже некогерентными между собой. Т. е. пока их разность хода не превышает $m=4$ длин волн, колебания в какой-то степени когерентны. Значит, вдоль распространения волны когерентными между собой будут только участки волны в этом интервале (длины). Данный интервал и называют длиной когерентноcти $l_{\text {ког }}$. В рассмотренном случае $l_{\text {ког }}=4 \lambda$. Заметим, что в данных условиях это простейший способ оценки длины когерентности: $l_{\text {ког }} \approx m \lambda$, где $m$ – максимальный порядок интерференции, соответствующий еще видимой светлой полосе.
Рис. 4.4
Все это можно схематически представить с помощью рис. 4.4: в падающей на обе щели волне (рис. 4.3) длина когерентности $l_{\text {ког }}$, щели создают две волны с той же длиной когерентности, но поскольку они достигают разных точек экрана с различными разностями хода, то участки когерентности обеих волн постепенно сдвигаются относительно друг друга и, начиная с $m=5$, перестают перекрывать друг друга – складываемые колебания становятся некогерентными и интерференционные полосы исчезают.

Все сказанное, как мы увидим далее, справедливо при условии, что «первичная» щель $S$ достаточно узка. При расширении этой щели вступает в действие другой эффект.

Найдем выражение, определяющее $l_{\text {ког }}$. Известно, что строго монохроматический свет – это идеализация. Реальный свет, как бы ни стараться его монохроматизировать, остается в той или иной степени немонохроматическим, представляющим собой набор монохроматических компонент в некотором конечном интервале длин волн ( $\lambda, \lambda+\Delta \lambda$ ). Примем, что эти монохроматические компоненты равномерно заполняют указанный интервал.

Рис. 4.5
Как показывает формула (4.6), ширина полос $\Delta x \sim \lambda$. Изобразим положения максимумов для длин волн, соответствующих крайним значениям спектрального интервала $(\lambda, \lambda+\Delta \lambda)$ : сплошными отрезками – для $\lambda$, пунктирными – для $\lambda+\Delta \lambda$ (рис. 4.5). Максимумы же от промежуточных длин волн заполняют интервал между крайними максимумами каждого порядка интерференции. В результате промежуточные максимумы, как видно из рисунка, будут постепенно заполнять интервал между максимумами соседних порядков для $\lambda$ и $\lambda+\Delta \lambda$. А это значит, что результирующие максимумы (нижняя часть рисунка) будут постепенно размываться, и полосы интерференции исчезнут.

С помощью рис. 4.5 можно заключить, что полосы исчезнут там, где $m(\lambda+\Delta \lambda) \approx(m+1) \lambda$, здесь $m$ – предельный порядок интерференции, начиная с которого полосы исчезают. Отсюда
\[
m \approx \lambda / \Delta \lambda
\]

Величина $\lambda / \Delta \lambda$ характеризует степень монохроматичности света: чем она больше, тем больше и степень монохроматичности.

Таким образом, мы нашли то значение $m$, при котором картина интерференции исчезает, т. е. складываемые колебания становятся уже некогерентными. Заметим, что установить точное значение этого $m$ довольно затруднительно из-за того, что полосы размываются постепенно, впрочем это и не так существенно.

Найденное значение $m$ (4.9) связано с длиной когерентности как $l_{\text {ког }} \approx m \lambda$. Отсюда следует, что

Мы видим, что длина когерентности световой волны непосредственно связана со степенью монохроматичности ( $\lambda / \Delta \lambda$ ): чем больше последняя, тем больше и длина когерентности. Для солнечного света $l_{\text {ког }} \approx 5 \lambda$, для лучших (не лазерных) источников света удалось получить $l_{\text {ког }}$ порядка нескольких десятков сантиметров. Лазеры позволили получить излучение с $l_{\text {ког }}$ порядка сотен метров (и даже нескольких километров!).
Рис. 4.6

Пример. На рис. 4.6 показана часть симметричного распределения интенсивности в интерференционной картине от двух щелей (аналог опыта Юнга). Длина волны используемого света $\lambda \approx 0,5$ мкм. Оценим угловое расстояние между щелями относительно центра экрана, степень монохроматичности используемого света и длину его когерентности.
Из данного рисунка видно, что ширина полосы $\Delta x=0,2$ мм. Значит, искомое угловое расстояние, согласно (4.6), $\psi \approx \lambda / \Delta x=$ $=0,5 \cdot 10^{-3} \mathrm{mм} / 0,2 \mathrm{mм}=2,5 \cdot 10^{-3}$ рад. Степень монохроматичности, согласно (4.9), равна предельному порядку интерференции. Наибольшему максимуму соответствует $m=0$ (третий максимум слева). Следующих максимумов (порядков интерференции), как видно из рисунка, равно 8. Значит $\lambda / \Delta \lambda \approx m=8$. Длина когерентности $l_{\text {ког }} \approx m \lambda=8 \cdot 0,5$ мкм $=4,0$ мкм.
Итак, мы можем утверждать, что для получения интерференционной картины необходимо, чтобы оптическая разность хода складываемых колебаний была меньше длины когерентности:
\[
\Delta<l_{\text {ког }}
\]

Это требование касается всех установок, с помощью которых мы хотим наблюдать картину интерференции.

В заключение заметим, что длина когерентности связана с так называемым временем когерентности $\tau_{\text {ког }}$ – промежутком времени, в течение которого случайные изменения фазы световой волны в данной точке достигают значения порядка $\pi$. За это время волна распространяется на расстояние порядка $l_{\text {ког }}=c \tau_{\text {ког }}$.

Ширина когерентности. До сих пор щель $S$ в опыте Юнга (рис. 4.2) предполагалась весьма узкой (часто говорят бесконечно узкой). Расширение же щели, как и уменьшение степени монохроматичности света приводит к ухудшению (размытию) интерференционных полос и даже к полному их исчезновению. Чтобы выяснить роль ширины щели $S$, рассмотрим теперь на примере опыта Юнга другой крайний случай: излучение монохроматическое, щель не узкая.

Интерференционную картину на экране $Э$ (рис. 4.7) можно представить как наложение интерференционных картин от бесконечно узких щелей, на которые мысленно разобьем щель $S$. Пусть положение максимумов на экране Э от узкой щели, взятой около верхнего края щели $S$ – точки 1 – таково, как отмечено сплошными отрезками на рис. 4.8. А максимумы от узкой щели, взятой около нижнего края щели $S$ – точки 2 – будут смещены вверх, они отмечены пунктирными отрезками на этом же рисунке. Интервалы между этими максимумами заполнены максимумами от промежуточных узких щелей, расположенных между краями 1 и 2.

При расширении щели $S$ расстояния между максимумами от ее крайних элементов будут увеличиваться, т. е. интервалы между соседними максимумами от одного края щели будут постепенно заполняться максимумами от остальных элементов щели.
Pис. 4.7
Pис. 4.8

Для простоты будем считать, что в схеме (рис. 4.7) расстояния $a=b$. Тогда при ширине щели $s$, равной ширине интерференционной полосы $\Delta \mathrm{x}$, интервал между соседними максимумами от края 1 будет целиком заполнен максимумами от остальных элементов щели, и интерференционные полосы исчезнут.

Итак, при расширении щели $S$ интерференционная картина постепенно размывается и при некоторой ширине щели практически исчезает.

Это наблюдаемое явление можно объяснить и иначе, а именно: интерференционная картина исчезает вследствие того, что вторичные источники – щели $S_{1}$ и $S_{2}$ (рис. 4.7) становятся некогерентными. Сказанное позволяет говорить о ширине когерентности падающей на щели $S_{1}$ и $S_{2}$ световой волны – ширине $h_{\text {ког }}$, на которой отдельные участки волны в достаточной степени когерентны между собой. Во избежание недоразумений уточним: под шириной $h_{\text {ког }}$ имеется в виду характерное для данной установки расстояние между точками поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны.

Найдем формулу для вычисления $h_{\text {ког }}$. В рассматриваемой схеме опыта Юнга запишем условие, при котором щели $S_{1}$ и $S_{2}$ становятся некогерентными источниками: $h_{\text {ког }} \approx d$, где $d$ – расстояние между щелями. Кроме того, мы выяснили, что интерференционная картина исчезает, когда ширина щели $s \approx \Delta x$. Ширина же полосы $\Delta x$, согласно (4.6), равна $\Delta x=\lambda l / d$. Из этих трех равенств получим:
\[
h_{\text {ког }} \approx d=\lambda l / \Delta x \approx \lambda l / s=\lambda /(s / l)=\lambda / \varphi,
\]

где $\varphi$ – угловая ширина щели $S$ относительно диафрагмы с двумя щелями. Итак, ширина когерентности

Это значит, что ширина когерентности попорциональна длине волны света и обратно пропорциональна угловой ширине источника относительно интересующего нас места (в опыте Юнга – относительно места расположения двух щелей). Сказанное поясняет рис. 4.9.
Рис. 4.9

Если в качестве источника использовать непосредственно Солнце (его угловой размер $\varphi \approx 0,01$ рад и $\lambda \approx 0,5$ мкм), то ширина когерентности, согласно (4.12), $h_{\text {ког }} \approx 0,05$ мм. Для получения интерференционной картины от двух щелей с помощью такого излучения расстояние между двумя щелями должно быть меньше 0,05 мм, что сделать практически невозможно.

Формула (4.12) по существу лежит в основе метода, предложенного Физо и осуществленного Майкельсоном – по определению угловых размеров звезд путем измерения ширины когерентности $h_{\text {ког }}$. Попытки провести эти измерения, помещая экран с двумя щелями перед объективом телескопа оказались безуспешными: полосы интерференции оставались четкими даже при наибольшем расстоянии между этими щелями. Майкельсон преодолел эту трудность с помощью звездного интерферометра (рис. 4.10). Расположенные против щелей зеркала $3_{0}-3_{0}$ неподвижны, а зеркала 3 – 3 можно одновременно раздвигать, меняя расстояние $h$ между ними. Видность полос зависит от степени когерентности световых колебаний на зеркалах $3-3$, в то время как ширина полос $\Delta x$ определяется расстоянием между щелями. Постепенно раздвигая зеркала $3-3$, обнаруживают, что при определенном расстоянии $h$ между ними интерференционная картина исчезает. Это значит, что расстояние $h$ между этими зеркалами оказалось $\sim h_{\text {ког }}$. Остается по формуле (4.12) вычислить $\varphi$. При максимальном расстоянии $h \approx 6$ м можно было измерить угловой диаметр объекта $\varphi \approx 0,02$ угл. сек.
Pис. 4.10

Первой звездой, угловой диаметр которой удалось определить, была Бетельгейзе ( 0,047 угл. сек.). Измерив кроме того расстояние до нее (по параллаксу), определили диаметр этой звезды-гиганта (он оказался больше диаметра земной орбиты!).

Общие выводы. Для получения устойчивой интерференционной картины с использованием обычных (не лазерных) источников света необходимо исходную световую волну расщепить подходящим способом на две части, которые затем в области перекрытия и дадут систему полос, но… лишь в том случае, если у исходной световой волны:
1) длина когерентности $l_{\text {ког }}$ превышает оптическую разность хода $\Delta$ складываемых колебаний и
2) ширина когерентности $h_{\text {ког }}$ превышает расстояние $d$ между щелями*.

Насколько больше должны быть эти величины, общепринятого соглашения нет. Будем считать, например, вдвое. Тогда можно записать:
\[
\begin{array}{l}
l_{\text {ког }} \geqslant 2 \Delta, \\
h_{\text {ког }} \geqslant 2 d .
\end{array}
\]

Выполнение этих условий гарантирует получение интерференционной картины с достаточно хорошей видностью полос.