Интерференция это одно из явлений, где проявляются волновые свойства волн.

Когерентность. Рассмотрим суперпозицию двух гармонических волн одинаковой частоты, которые возбуждают в интересующей нас точке пространства колебания одинакового направления с амплитудами $A_{1}$ и $A_{2}$. Если разность фаз этих колебаний равна $\delta$, то возникает результирующее колебание с амплитудой $A$, которую легко найти с

Pис. 4.1 помощью векторной (или фазовой) диаграммы (рис. 4.1) и теоремы косинусов:
\[
A^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2 A_{1} A_{2} \cos \delta .
\]

Если оба колебания не согласованы друг с другом, т. е. разность фаз $\delta$ как-то изменяется во времени, то такие колебания называют некогерентными. В том случае, когда $\delta$ непрерывно изменяется, причем так, что принимает с равной вероятностью любые значения, среднее по времени значение $\langle\cos \delta\rangle=0$, последнее слагаемое в (4.1) обращается в нуль и остается $A^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}$. Принимая во внимание, что интенсивность $I$ пропорциональна квадрату амплитуды, $I \sim A^{2}$, можно записать
\[
I=I_{1}+I_{2} .
\]

Это значит, что в данном случае интенсивность результирующего колебания равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой из волн в отдельности.

Если же разность фаз $\delta$ постоянна во времени, то такие колебания (и волны) называют когерентными. В случае суперпозиции когерентных волн интенсивность результирующего колебания, согласно (4.1),
\[
I=I_{1}+I_{2}+2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cos \delta .
\]

Последнее слагаемое в этой формуле и в (4.1) называют интерференционным членом. Рассмотрим его влияние на результирующую интенсивность.

В точках пространства, где $\cos \delta>0, I>I_{1}+I_{2}$; там же, где $\cos \delta<0, I<I_{1}+I_{2}$. Другими словами, при суперпозиции когерентных волн происходит перераспределение интенсивности $I$ в пространстве: в одних местах возникают максимумы, в других минимумы интенсивности. Это явление называют интерференцией волн. Особенно отчетливо (контрастно) интерференция проявляется тогда, когда $I_{1}=I_{2}$. Тогда, согласно (4.3), $I=4 I_{1}$ в максимумах и $I=0$ в минимумах. Для некогерентных волн при $I_{1}=$ $=I_{2}$ интенсивность $I$ всюду одинакова и, согласно (4.2), $I=2 I_{1}$.

Основной принцип интерференционных схем. Интерференция характерна для волн любой природы и сравнительно просто наблюдается на опыте для волн на поверхности воды или для звуковых волн. Наблюдать же интерференцию световых волн можно лишь при определенных условиях.

Дело в том, что свет, испущенный обычными (не лазерными) источниками, не бывает монохроматическим. Такой свет можно рассматривать как хаотичную последовательность отдельных цугов синусоидальных волн. Длительность отдельного цуга порядка $10^{-8} \mathrm{c}$, поэтому при наложении световых волн от разных источников фазовые соотношения между световыми колебаниями многократно изменяются случайным образом. Источники оказываются некогерентными и достаточно устойчивой картины интерференции не возникает (сменяющие друг друга с весьма большой частотой картины интерференции в дальнейшем нас интересовать не будут, их регистрация требует специальных мало инерционных приемников).

И тем не менее, когерентные световые волны можно получить даже от обычных источников. Общий принцип их получения таков: волну, излучаемую одним источником света, разделяют тем или иным способом на две части и затем накладывают их друг на друга подходящим способом.

Если разность хода этих волн от источника до точки наблюдения не превышает некоторой характерной длины*, то случайные изменения амплитуды и фазы световых колебаний в двух волнах происходят согласованно (когерентно), и мы будем наблюдать интерференционную картину, например систему чередующихся светлых и темных полос.

Как будет видно в дальнейшем, образовавшиеся после разделения во́лны во всех интерференционных схемах можно представить как бы исходящими из двух точечных источников $S_{1}$ и $S_{2}$ (действительных или мнимых — это не существенно). Поэтому общий подход к интерпретации получаемых результатов будет единым, с него мы и начнем.
Pис. 4.2
Рассмотрим две волны, исходящие из когерентных источников $S_{1}$ и $S_{2}$ (рис. 4.2). В области, где эти волны перекрываются — ее называют зоной интерференции — должна возникать система чередующихся максимумов и минимумов освещенности, которую можно наблюдать на экране $Э$.

Обозначим разность расстояний $r_{2}$ и $r_{1}$ от источников до интересующей нас точки $P$ как $\Delta=r_{2}-r_{1}$. Эту величину называют разностью хода. Если разность хода равна целому числу длин волн, т. е.
\[
\Delta=m \lambda, \quad m=0, \pm 1, \pm 2, \ldots,
\]

где $m$ — порядок интерференции, то колебания, возбуждаемые в точке $P$ обеими волнами, будут происходить в фазе. Таким образом, (4.4) есть условие возникновения интерференционных
* Ее называют длиной когерентности, но об этом более подробно в следующем параграфе.

максимумов. В точках же, для которых $\Delta$ равно полуцелому числу длин волн, образуются минимумы.

В случае, когда волны от источников распространяются не в вакууме, а в среде с показателем преломления $n$, в формуле (4.4) под $\Delta$ следует понимать не геометрическую, а оптическую разность хода интерферирующих волн: $\Delta=n\left(r_{2}-r_{1}\right)$. При этом $\lambda$ это по-прежнему длина волны в вакууме.

Ширина интерференционной полосы. В практически важных случаях, угол $\theta$ « 1 (см. рис. 4.2) и разность хода $\Delta$ можно записать как $\Delta=d \cdot \theta$, где $d$ — расстояние между источниками $S_{1}$ и $S_{2}$. А так как $\theta \approx x / l$, где $l$ — расстояние от источников до экрана, то для максимумов, согласно (4.4), получим $d \cdot x_{m} / l=m \lambda$, откуда
\[
x_{m}=m \lambda l / d .
\]

В точке $x=0$ расположен максимум, соответствующий нулевой разности хода. Для него порядок интерференции $m=0$. Это центр интерференционной картины.

При переходе к соседнему максимуму $m$ меняется на единицу и $x$ — на величину $\Delta x$, которую называют шириной интерференционной полосы. Таким образом,

где $\psi$ — угол, под которым видны оба источника из центра экрана, $\psi=d / l$ (см. рис. 4.2).

Из этих формул видно, что для увеличения ширины полосы следует увеличивать $l$, или уменьшать $d$, или то и другое, т. е. в конечном счете — уменьшать угловое расстояние $\psi$ между источниками. Полезно иметь в виду, что размер интерференционной картины обычно не превышает 1 мм, это при расстоянии от источников до экрана порядка нескольких десятков сантиметров.

Практически для получения более яркой интерференционной картины в качестве источников $S_{1}$ и $S_{2}$ используют две щели (или изображения исходного источника — щели $S$ ), и интерференционная картина имеет вид чередующихся светлых и темных полос, параллельных данным щелям.

Распределение интенсивности. Рассмотрим идеализированный случай, когда источники $S_{1}$ и $S_{2}$ строго монохроматические. В интересующую нас точку экрана колебания от этих источников будут приходить практически с одинаковой амплитудой, $A_{1}=A_{2}=A_{0}$. Тогда, согласно (4.1),
\[
A^{2}=2 A_{0}^{2}+2 A_{0}^{2} \cos \delta=2 A_{0}^{2}(1+\cos \delta)=4 A_{0}^{2} \cos ^{2}(\delta / 2),
\]

где $\delta$ — разность фаз, которая зависит от разности хода как $\delta=2 \pi \Delta / \lambda$. В нашем случае (см. рис. 4.2) $\Delta=d \cdot \theta=d x / l$. Следовательно, $\delta=2 \pi d x / l \lambda$. Имея в виду, что интенсивность $I \sim A^{2}$, получим
\[
I=I_{0} \cos ^{2} \eta x,
\]

где $\eta=\pi d / l \lambda, I_{0}$ — интенсивность в максимумах, в минимумах $I$ $=0$. Полученное идеализированное распределение интенсивности $I(x)$ несколько отличается, естественно, от реального, которому соответствует рис. 4.2.