7.1. Дисперсия света. Электромагнитная волна распространяется в разреженной плазме, концентрация свободных электронов которой равна $N_{0}$. Пренебрегая взаимодействием волны с ионами плазмы, найти зависимость фазовой скорости волны от ее частоты $\omega$.
Ре шен и е. В случае плазмы (электроны свободные) собственная частота колебаний электронов $\omega_{0}=0$, поэтому согласно (7.11) диэлектрическая проницаемость
\[
\varepsilon=1-b / \omega^{2},
\]
где $b=N_{0} e^{2} / \varepsilon_{0} m_{e}, m_{e}$ – масса электрона. Следовательно, фазовая скорость
\[
v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon}}=\frac{c}{\sqrt{1-b / \omega^{2}}} .
\]
7.2. Найти концентрацию свободных электронов ионосферы, если для радиоволн с частотой $v=100 \mathrm{M}$ Г ее показатель преломления $n=0,90$.
Р е ш е н и е. Согласно (7.11) для плазмы ( $\omega_{0}=0$ )
\[
n^{2}=1-b / \omega^{2} \text {, }
\]
где $b=N_{0} e^{2} / \varepsilon_{0} m_{e}, \omega=2 \pi
u$. После подстановки выражений для $b$ и $\omega$ в (1) получим:
\[
N_{0}=\frac{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} m_{e} v^{2}}{e^{2}}\left(1-n^{2}\right) \approx 2,4 \cdot 10^{7} \mathrm{~cm}^{-3} .
\]
7.3. Имея в виду, что для достаточно жестких рентгеновских лучей электроны вещества можно считать свободными, определить, насколько отличается от единицы показатель преломления графита для рентгеновского излучения с длиной волны $\lambda=50$ пм (в вакууме).
Р е ш е н и е. Исходя из формулы (7.11) и учитывая, что в рассматриваемом случае $\omega_{0}=0$, запишем:
\[
n^{2}=1-\frac{b}{\omega^{2}}=1-\frac{b \lambda^{2}}{4 \pi^{2} c^{2}},
\]
где $b=N_{0} e^{2} / \varepsilon_{0} m_{e}, N_{0}=\left(N_{A} / A\right) \mathrm{\rho} Z, \rho-$ плотность графита $\left(1,6\right.$ г/см $\left.{ }^{3}\right)$, $Z$ – число электронов в атоме ( $Z=6$ ). Искомое различие
\[
n-1=\sqrt{1-b / \omega^{2}}-1 \text {. }
\]
Вычислив значение величины $b / \omega^{2}$, обнаруживаем, что она значительно меньше единицы, поэтому формулу (1) можно упростить:
\[
n-1=-b / 2 \omega^{2}=-b \lambda^{2} / 8 \pi^{2} c^{2}=-5,4 \cdot 10^{-7},
\]
где $\omega=2 \pi c / \lambda$.
7.4. Групповая скорость. Найти зависимость между групповой и и фазовой $v$ скоростями для следующих законов дисперсии:
а) $v \sim k$;
б) $v \sim 1 / \omega^{2}$.
Здесь $k$ и $\omega$ – волновое число и циклическая частота.
Р ешени е. а) По определению, $u=\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} k$, где $\omega=v k$. Тогда
\[
u=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} k}(v k)=v+k \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} k} .
\]
Пусть $v=a k$, где $a$ – некоторая постоянная. В этом случае (1) примет вид
\[
u=v+a k=2 v .
\]
б) Пусть $v=\alpha / \omega^{2}, \alpha$ – некоторая постоянная. Тогда
\[
\frac{\mathrm{d} k}{\mathrm{~d} \omega}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \omega}\left(\frac{\omega}{v}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \omega}\left(\frac{\omega^{3}}{\alpha}\right)=\frac{3}{v} .
\]
Поэтому групповая скорость
\[
u=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k}=\frac{v}{3} .
\]
7.5. Показатель преломления вещества для близких длин волн $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ (в вакууме) равен соответственно $n_{1}$ и $n_{2}$. Определить групповую скорость света в области данных длин волн.
Решени е. Преобразуем в соответствии с условиями задачи выражение для групповой скорости (7.13) так, чтобы оно содержало $n, \lambda$ и производную $\mathrm{d} n / \mathrm{d} \lambda$. Для этого запишем
\[
\begin{array}{c}
u=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} k}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} k}(v k)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} k}\left(\frac{c k}{n}\right)= \\
=\frac{n-k(\mathrm{~d} n / \mathrm{d} k)}{n^{2}}=\frac{c}{n}\left(1-\frac{k}{n} \frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{~d} k}\right) .
\end{array}
\]
Tеперь учтем, что $k=2 \pi / \lambda$ и $\mathrm{d} k=-2 \pi \mathrm{d} \lambda / \lambda^{2}$. После подстановки этих выражений в (1) получим:
\[
u=\frac{c}{n}\left(1+\frac{\lambda}{n} \frac{\mathrm{d} n}{\mathrm{~d} \lambda}\right) \approx \frac{c}{n}\left(1+\frac{\langle\lambda\rangle}{\langle n\rangle} \frac{\langle\Delta n\rangle}{\langle\Delta \lambda\rangle}\right),
\]
где $\langle\lambda\rangle=\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) / 2,\langle n\rangle=\left(n_{1}+n_{2}\right) / 2, \Delta n=n_{2}-n_{1}, \Delta \lambda=\lambda_{2}-\lambda_{1}$.
7.6. В некоторой среде связь между групповой и фазовой скоростями электромагнитной волны имеет вид $u v=c^{2}$, где $c$ – скорость света в вакууме. Найти зависимость диэлектрической проницаемости этой среды от частоты волны, $\varepsilon(\omega)$.
Р ешен и е. Исходим из выражения (7.13) для групповой скорости $u=\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} k$, где согласно (7.12) $k=\omega / v=\omega n / c$. Учитывая, что $n=\sqrt{\varepsilon}$, перепишем предыдущее соотношение для $k$ так:
\[
k=\omega \sqrt{\varepsilon} / c .
\]
Теперь найдем производную $\mathrm{d} k / \mathrm{d} \omega$ :
\[
\frac{\mathrm{d} k}{\mathrm{~d} \omega}=\frac{1}{c}\left(\sqrt{\varepsilon}+\omega \frac{\mathrm{d} \varepsilon / \mathrm{d} \omega}{2 \sqrt{\varepsilon}}\right) .
\]
Это выражение равно $1 / u$, или
\[
\frac{1}{u}=\frac{v}{c^{2}}=\frac{1}{c \sqrt{\varepsilon}} .
\]
Приравняв (1) и (2), запишем:
\[
\sqrt{\varepsilon}+\frac{\omega}{2 \sqrt{\varepsilon}} \frac{\mathrm{d} \varepsilon}{\mathrm{d} \omega}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} .
\]
Последнее уравнение можно упростить:
\[
\varepsilon+\frac{\omega}{2} \frac{\mathrm{d} \varepsilon}{\mathrm{d} \omega}=1 .
\]
Разделив переменные $\varepsilon$ и $\omega$, получим:
\[
\frac{\mathrm{d} \varepsilon}{\varepsilon-1}=-2 \frac{\mathrm{d} \omega}{\omega} .
\]
Интегрируем это уравнение:
\[
\ln (\varepsilon-1)=-2 \ln \omega+\ln A,
\]
где $A$ – произвольная постоянная. Потенцируя (3), находим: $\varepsilon-1=A / \omega^{2}$, и окончательно
\[
\varepsilon=1-A / \omega^{2},
\]
где $A$ – положительная постоянная, определяемая экспериментально.
7.7. Поглощение света. Из некоторого прозрачного вещества изготовили две пластинки: одну толщиной $h_{1}$, другую толщиной $h_{2}$. Введя поочередно эти пластинки перпендикулярно в пучок монохроматического света, обнаружили, что первая пластинка пропускает $\tau_{1}$ светового потока, а вторая – $\tau_{2}$. Пренебрегая вторичными отражениями, найти коэффициент поглощения $\chi$ этого вещества.
Р е ше н и е. В условии этой задачи описан обычный метод измерения коэффициента поглощения в случае, когда неизвестен коэффициент отражения от каждой поверхности пластинки. В этом случае поступают так. Сначала запишем выражения для интенсивности света, прошедшего через первую и вторую пластинки:
\[
\begin{array}{c}
I_{1}=I_{0}(1-\rho)^{2} \exp \left(-\varkappa h_{1}\right), \\
I_{2}=I_{0}(1-\rho)^{2} \exp \left(-\chi h_{2}\right),
\end{array}
\]
где $I_{0}$ – интенсивность падающего света, $\rho$ – неизвестный коэффициет отражения (он одинаков для обеих поверхностей пластинки). Имея в виду, что $I_{1} / I_{0}=\tau_{1}$ и $I_{2} / I_{0}=\tau_{2}$, найдем отношение обеих формул (1) и тем самым исключим неизвестное $\rho$. В результате получим:
\[
\tau_{1} / \tau_{2}=\exp \left[\varkappa\left(h_{2}-h_{1}\right)\right]
\]
откуда, потенцируя, находим:
\[
\varkappa=\frac{\ln \left(\tau_{1} / \tau_{2}\right)}{h_{2}-h_{1}} .
\]
7.8. Монохроматический пучок света падает нормально на поверхность плоскопараллельной пластинки толщиной $h$. Коэффициент поглощения вещества пластинки линейно изменяется вдоль нормали к ней от значения $x_{1}$ до $x_{2}$. Коэффициент отражения от каждой поверхности считать одинаковым и равным $\rho$. Пренебрегая вторичными отражениями, найти коэффициент пропускания $\tau$ для данной пластинки.
Р е шен и е. Выделим в пластинке бесконечно тонкий слой от $x$ до $x+\mathrm{d} x$, в пределах которого коэффициент поглощения равен $x$. Убыль интенсивности света, прошедшего через этот слой, запишем как
\[
-\mathrm{d} I=x I(x) \mathrm{d} x .
\]
В нашем случае коэффициент поглощения зависит от $x$ линейно, а именно
\[
x=x_{1}+\frac{x_{2}-x_{1}}{h} x .
\]
После подстановки (2) в (1) получим:
\[
-\frac{\mathrm{d} I}{I}=x_{1} \mathrm{~d} x+\frac{x_{2}-x_{1}}{h} x \mathrm{~d} x .
\]
Проинтегрировав это уравнение по $x$ от 0 до $h$ и по $I$ от $I_{0}(1-\rho)$ до $I_{h}$ (рис. 7.12), найдем
\[
-\ln \frac{I_{h}}{I_{0}(1-\rho)}=\varkappa_{1} h+\frac{\varkappa_{2}-\varkappa_{1}}{h} \frac{h^{2}}{2},
\]
или после потенцирования
\[
I_{h}=I_{0}(1-\rho) \exp \left(-h \frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right) .
\]
Рис. 7.12
После прохождения второй поверхности пластинки интенсивность света окажется $I=I_{h}(1-\rho)$, см. рис. 7.12.
В результате искомый коэффициент пропускания
\[
\tau=\frac{I}{I_{0}}=(1-\rho)^{2} \exp \left(-h \frac{x_{1}+\varkappa_{2}}{2}\right) .
\]
7.9. Точечный монохроматический источник, испускающий световой поток $\Phi_{0}$, находится в центре сферического слоя однородного вещества, внутренний радиус которого равен $a$, наружный – $b$. Коэффициент поглощения вещества слоя равен $x$, коэффициент отражения каждой поверхности – $\rho$. Пренебрегая вторичными отражениями, найти интенсивность света на выходе из этого слоя.
Р е ш е и е. Записав убыль светового потока при прохождении бесконечно тонкого сферического слоя вещества толщиной от $r$ до $r+\mathrm{d} r$ (рис. 7.13), получим
\[
-\mathrm{d} \Phi=\varkappa \Phi(r) \mathrm{d} r \text {, или }-\mathrm{d} \Phi / \Phi=\varkappa \mathrm{d} r .
\]
Проинтегрировав последнее уравнение по $r$ от $a$ до $b$ и по Ф от $\Phi_{a}=\Phi_{0}(1-\rho)$ до $\Phi_{b}$, получим, что перед выходом из сферичеРис. 7.13 ского слоя поток
\[
\Phi_{b}=\Phi_{0}(1-\rho) \mathrm{e}^{-x(b-a)} .
\]
Вышедший из сферического слоя поток
\[
\Phi=\Phi_{b}(1-\rho) .
\]
Искомая интенсивность на выходе из этого слоя
\[
I=\frac{\Phi}{4 \pi b^{2}}=\frac{\Phi_{0}(1-\rho)^{2}}{4 \pi b^{2}} \mathrm{e}^{-x(b-a)},
\]
где учтены формулы (1) и (2).
7.10. Пучок естественного монохроматического света интенсивности $I_{0}$ падает на систему из двух скрещенных поляризаторов, между которыми находится трубка с некоторой оптически неактивной жидкостью в продольном магнитном поле с индукцией $B$. Длина трубки $l$, коэффициент поглощения жидкости $x$ и постоянная Верде $V$. Пренебрегая отражениями на торцах трубки, найти интенсивность света, прошедшего через эту систему.
Р ешения и После прохождения первого поляризатора $P$ свет становится поляризованным с интенсивностью, равной $I_{0} / 2$. До второго поляризатора $P^{\prime}$ дойдет свет, интенсивность которого согласно закону Бугера (7.18) будет равна $\left(I_{0} / 2\right) \mathrm{e}^{-x d}$.
Кроме того, в магнитном поле произойдет поворот направления линейной поляризации на угол $\varphi=$ $V l B$, см. рис. 7.14. Поэтому поляризатор $P^{\prime}$ пропустит согласно закону Малюса только ту часть интенсивности света, которая пропорциональна $\cos ^{2}\left(90^{\circ}-\varphi\right)=\sin ^{2} \varphi$.
Рис. 7.14
В результате интенсивность прошедшего света
\[
I=\left(I_{0} / 2\right) \mathrm{e}^{-x l} \sin (V l B) .
\]
