В отличие от дифракции Фраунгофера от круглого отверстия, расчет дифракции от узкой длинной щели с параллельными краями оказывается значительно проще, и мы воспроизведем его достаточно детально. Соответствующий расчет и здесь будет проведен с помощью принципа Гюйгенса-Френеля.

Рассмотрим случай, когда на щель ширины $b$ падает нормально плоская световая волна (рис. 5.22). Разобьем мысленно эту щель – она же открытая часть волновой поверхности – на очень узкие одинаковые по ширине зоны-полоски, параллельные прямолинейным краям щели. Суммирование вторичных волн проведем с помоцью векторной диаграммы.
Рис. 5.22
Колебания, приходяцие в точку $P$ от каждой такой зоны-полоски имеют одинаковую амплитуду $\mathrm{d} A$, поскольку распространяются параллельно друг другу перед линзой и, значит, $\mathrm{d} A$ не зависит от пройденного пути до точки $P$ (напомним, что линза – система таутохронная). Іри этом разность фаз между колебаниями, приходящими в точку $P$ от соседних зон-полосок, будет одинакова.

Отсюда следует, что при графическом изображении мы получим цепочку векторов $\mathrm{d} \mathbf{A}_{i}$, одинаковых по модулю и повернутых относительно друг друга на один и тот же угол (рис. 5.23, a). Результирующая амплитуда изобразится вектором $\mathbf{A}$ – хордой дуги окружности с центром в точке $C$.

Заметим, что для точки $P_{0}$ эта цепочка образует прямую, что соответствует максимуму интенсивности.

Условие минимумов. Если разность хода крайних лучей (см. рис. 5.22) составляет $\Delta=\lambda$, то их разность фаз $\delta=2 \pi$, цепочка оказывается замкнутой и амплитуда результирующего колебания обращается в нуль (рис. 5.23, б). Это первый минимум дифракционной картины, представляющей собой симметричную относительно середины систему чередующихся светлых и темных полос, параллельных щели.

Рис. 5.23
Результирующая амплитуда обращается в нуль и тогда, когда разность фаз от крайних элементов щели равна $2 \pi m$, где $m=1,2, \ldots$ Цепочка при этом замыкается после $m$ оборотов, практически не меняя своей длины $A_{0}$, поскольку угол дифракции 9 обычно достаточно мал.

Разность фаз $\delta$ связана с разностью хода $\Delta$ соотношением (3.20), т. е.
\[
\delta=2 \pi \frac{\Delta}{\lambda},
\]

где $\lambda$ – длина волны света.
Так как $\Delta=b \sin \vartheta$ (см. рис. 5.22) и в минимуме $\delta=2 \pi m$, то из этих трех равенств следует условие для минимумов:
\[
m=1,2, \ldots
\]

Заметим, что $m
eq 0$, поскольку при $m=0$ образуется максимум (цепочка векторов становится прямой). Из этой формулы видно, что уменьшение ширины $b$ щели приводит к расширению дифракционной картины.

Распределение интенсивности. Найдем интенсивность $I$ света на экране в зависимости от угла дифракции 9 . Это легко сделать с помощью рис. 5.23, а. Обозначив радиус цепочки-дуги через $R$, запишем:
\[
A=2 R \sin \frac{\delta}{2}, \quad A_{0}=R \delta .
\]

Остается исключить $R$ из этих двух равенств, и мы получим:
\[
A=A_{0} \frac{\sin (\delta / 2)}{\delta / 2} .
\]

А так как $I \sim A^{2}$, то искомая зависимость-будет иметь вид:
\[
I=I_{0} \frac{\sin ^{2} \alpha}{\alpha^{2}},
\]

где $\alpha=\delta / 2=\pi \Delta / \lambda=\pi b \sin \vartheta / \lambda$. График зависимости $I$ от $\sin \vartheta$ поI казан на рис. 5.24. Интенсивность второго максимума составляет около $4 \%$ от интенсивности центрального, поэтому можно считать, что практически весь световой поток, проходящий через щель, сосредоточен в первом (центральном) максимуме, угловая полуширина которого равна $\lambda / b$. Этот результат согласуется с формулой (5.13), определяющей дифракционную расходимость \”параллельных» световых пучков ограниченного сечения.
Рис. 5.24
Отметим также, что в середине симметричной дифракционной жартины, состоящей из чередующихся светлых и темных полос, при дифракции Фраунгофера всегда образуется максимум освещенности (в отличие от френелевой дифракции, где центральная полоса может быть как светлой, так и темной).

Если плоская световая волна падает на щель наклонно под углом $\vartheta_{0}$ к нормали, то разность хода между колебаниями, распространяющимися от краев щели под углом 9 к нормали, будет равна $\Delta=b\left(\sin \vartheta-\sin \vartheta_{0}\right)$. Это при условии, что оба угла, и $\vartheta_{0}$, отсчитываются от нормали в одну сторону – по или против часовой стрелки.

Условие дифракционных минимумов в данном случае принимает вид
\[
b\left(\sin \vartheta_{m}-\sin \vartheta_{0}\right)= \pm m \lambda,
\]

Центральный максимум ( $m=0$ ) будет расположен под углом $\vartheta_{m}=\vartheta_{0}$, т. е. в направлении падающей волны, и дифракционная картина будет несимметрична относительно центральной светлой полосы.

Теорема Бабине. Эта полезная теорема касается свойств так называемых дополнительных экранов. Например, в нашем случае, когда в непрозрачной преграде имеется щель, то дополнительным к нему экраном будет непрозрачная прямолинейная полоска, ширина которой равна ширине щели.

Согласно теореме Бабине, фраунгоферовы дифракционные картины в фокальной плоскости объектива совершенно одинаковы от дополнительных экранов, за исключением самого фокуса. Эта теорема следует из того, что согласно принципу Гюйгенса-Френеля дифрагированные волны можно представить как сумму вторичных волн, исходяцих из каждого элемента площади отверстий экрана. Пусть вектор-амплитуда дифрагированной в некотором направлении волны для данного экрана равна $\mathbf{A}_{1}$, а для дополнительного к нему экрана в этом же направлении – $\mathbf{A}_{2}$. В отсутствие обоих экранов амплитуды волн для всех направлений, кроме направления первоначальной волны, равны нулю. Следовательно, по принципу Гюйгенса-Френеля получим $\mathbf{A}_{1}+\mathbf{A}_{2}=0$, откуда $A_{1}=A_{2}$. Так как интенсивность $I \sim A^{2}$, то тем самым теорема доказана.

Теорема Бабине позволяет упростить решение многих дифракционных задач, заменяя экраны дополнительными. Например, надо определить толщину человеческого волоса. Для этого получают от него фраунгоферову дифракционную картину, а затем такую же по размеру картину – от щели, подбирая ее ширину. Найденная ширина щели и равна диаметру человеческого волоса.