Дифракционная решетка является важнейшим спектральным прибором, предназначенным для разложения света в спектр и измерения длин волн. Она представляет собой стеклянную или металлическую пластинку, на которых нанесено очень много (иногда до сотен тысяч) прямых равноотстоящих штрихов одинаковой конфигурации.

Рассмотрим простейшую идеализированную решетку, состоящую из одинаковых равноотстоящих щелей в непрозрачном экране. Пусть ширина каждой щели равна $b$, а период решетки $-d$. В решетке реализуется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, исходящих из щелей решетки при ее освецении.

Дифракционную (точнее дифракционно-интерференционную) картину наблюдают по методу Фраунгофера, т. е. в параллельных лучах, а практически – в фокальной плоскости объектива (рис. 5.25, a).
Рис. 5.25
Пусть плоская монохроматическая световая волна падает на решетку нормально. Каждая из щелей в отдельности давала бы в фокальной плоскости объектива дифракционную картину, показанную на рис. 5.24. И такие картины от всех щелей в отсутствие когерентности точно накладывались бы друг на друга, независимо от их положения. Интенсивности при этом складывались бы, и мы получили бы при наличии $N$ щелей дифражционную картину как от одной щели, но усиленную в $N$ раз.

При освещении же решетки когерентным светом, световые волны от всех щелей интерферируют друг с другом, и дифракционная картина резко меняется. Мы будем наблюдать систему достаточно узких максимумов.

Главные максимумы. В середину дифракционно-интерференционной картины* когерентные колебания от всех щелей приходят в фазе. Это значит, что если амплитуда от одной щели равна $A_{1}$, а число щелей в решетке $N$, то результирующая
* Далее мы будем называть ее по традиции просто дифракционной.

амплитуда $A$ и соответствующая ей интенсивность $I$ будут определяться формулами
\[
A=A_{1} N, \quad I=I_{1} N^{2} .
\]

Такой же результат получается и при углах дифракции 9 , для которых оптическая разность хода $\Delta$ колебаний от соседних щелей (см. рис. 5.25, б) равна целому числу длин волн:
\[
m=0,1,2, \ldots,
\]
относительно нормали к решетке ( $\vartheta_{0}=0$ ): при знаке «+» угол $\vartheta_{m}>0$, а при знаке « угол $\vartheta_{m}<0$.

В направлениях $\vartheta_{m}$, определяемых этим уравнением, возникают максимумы, интенсивность которых в $N^{2}$ раз превосходят интенсивность от каждой щели в том же направлении. Их называют главными максимумами $m$-го порядка, а уравнение (5.21) – условием главных максимумов. Именно главные максимумы и представляют особый практический интерес. Как мы увидим далее, они получаются тем более узкими и резкими, чем большее число $N$ штрихов содержит решетка.

При наклонном падении плоской волны на решетку – под углом $\vartheta_{0}$ к нормали (рис. 5.26,a) разность хода соответствующих лучей от двух соседних штрихов (щелей) равна $\Delta=d\left(\sin \vartheta-\sin \vartheta_{0}\right)$, и направления $\vartheta_{m}$ на главные фраунгоферовы максимумы определяются условием
\[
d\left(\sin \vartheta_{m}-\sin \vartheta_{0}\right)= \pm m \lambda .
\]

с учетом следующего правила знаков для углов $\vartheta_{m}$ и $\vartheta_{0}$ : они должны отсчитываться в одном направлении от нормали к решетке, например по часовой стрелке (см. рис. 5.26, а, где $\vartheta_{0}$ и $\vartheta_{m}>0$ ).
Рис. 5.26

Это же условие (5.22) справедливо и для отражательной решетки, если углы $\vartheta_{m}$ и $\vartheta_{0}$ отсчитывать в противоположных направлениях от нормали (см. рис. 5.26, $\sigma$, где $\vartheta_{0}$ и $\vartheta_{m}>0$ ).

Отметим попутно, что форма штрихов решетки не влияет на положение главных фраунгоферовых максимумов, и условия (5.21) и (5.22) являются универсальными.

Интерференционные минимумы. Для выяснения дальнейших деталей фраунгоферовой дифракционной картины воспользуемся векторной диаграммой, которая позволит легко найти и результирующую амплитуду $A$ колебаний, приходящих в произвольную точку $P$ фокальной плоскости объектива (см. рис. 5.25).
Pис. 5.27
Векторная диаграмма в нашем случае представляет собой цепочку векторов-амплитуд когерентных колебаний, приходящих в точку $P$ от каждой из $N$ щелей: $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{N}$ (рис. 5.27). По модулю эти векторы одинаковы, и каждый следующий отстает от предыдущего (или опережает, это не существенно) по фазе на один и тот же угол $\gamma$. Этот угол связан с оптической разностью хода $\Delta$ соответствующих лучей от соседних щелей известным соотношением (3.20), т. е. в нашем случае – при нормальном падении света на решетку
\[
\gamma=2 \pi \frac{\Delta}{\lambda}=2 \pi \frac{d \sin \vartheta}{\lambda},
\]

где $d$ – период решетки (см. рис. 5.25, б).
Теперь проследим, как будет вести себя эта цепочка векторов (а значит и ее замыкающая $A$ ) при удалении точки $P$ от фокуса $F$ (см. рис. $5.25, a$ ), т. е. с ростом угла дифракции $\vartheta$.

Ясно, что при этом будет увеличиваться разность фаз $\gamma$ между колебаниями от соседних щелей, и цепочка векторов будет постепенно закручиваться. Первый раз она замкнется и вектор А обратится в нуль, когда угол $N \gamma$ станет равным $2 \pi$ – это непосредственно видно из рис. 5.27 , б.

При дальнейшем росте угла $\vartheta$, а значит, разности фаз $\gamma$ и $N \gamma$, цепочка будет периодически то распрямляться (главные максимумы, $A=$ макс), то замыкаться (интерференционные минимумы, $A=0$ ). Последнее будет происходить при значениях угла $N \gamma$ кратных $2 \pi$ :
\[
N \gamma=2 \pi m^{\prime},
\]

где $m^{\prime}$ принимает целочисленные значения, кроме $0, N, 2 N, \ldots$, при которых цепочка распрямляется, и мы получаем главные максимумы.
Подставив в (5.24) значение $\gamma$ из формулы (5.23), получим:
Это выражение представляет собой условие для интерференционных минимумов (при целочисленных значениях $\mathrm{m}^{\prime}$, кроме $0, N, 2 N, .$.$) . Оно же содержит и условие (5.21) для главных мак-$ симумов (при $m^{\prime}=0, N, 2 N, \ldots$ ). Между двумя соседними главными максимумами расположены $N-1$ интерференционных минимумов. А между последними, в свою очередь, – добавочные максимумы, интенсивность которых при достаточно большом числе $N$ штрихов решетки пренебрежимо мала (как мы увидим далее, она составляет не более $5 \%$ от интенсивности главных максимумов).

В отличие от условия (5.21), которое дает только положения главных максимумов, соотношение (5.25) позволяет определить и их угловую ширину. В самом деле, при переходе от главного максимума к соседнему минимуму (рис. 5.28) $\mathrm{m}^{\prime}$ меняется на единицу, например от $N$ до $N+1$. Тогда при достаточно большом $N$ угловую полуширину $\delta \vartheta$ главного максимума 1 -го порядка можно найти, взяв дифференциал уравнения (5.25) с

Рис. 5.28
учетом того, что $m^{\prime}$ при этом меняется на единицу ( $\delta m^{\prime}=1$ ). Тогда $d \cos \vartheta \delta \vartheta=\lambda / N$, откуда
\[
\delta \vartheta=\frac{\lambda}{N d \cos \vartheta}=\frac{\lambda}{h \cos \vartheta} .
\]

Обращает на себя внимание тот факт, что $\delta \vartheta$ зависит не от $d$ и $N$ в отдельности, а от их произведения, которое есть не что иное как ширина решетки $h=N d$. С ростом угла дифракции $\vartheta$ ширина главных максимумов увеличивается. Главные максимумы будут тем уже, чем больше ширина решетки $h$ и меньше угол дифракции $\vartheta$.

Теперь выясним, что означает утверждение, например, «угловая ширина главного максимума $\delta \vartheta$ мала». По сравнению с чем? Ответ достаточно очевидный: величину $\delta \vartheta$ надо сравнивать с угловой шиной $\Delta \vartheta$ между соседними главными максимумами. Если $\delta \vartheta \ll \Delta \vartheta$, мы говорим, что главные максимумы узкие (резкие). Оценим отношение этих двух величин. Значение $\delta \vartheta$ соответствует изменению $m^{\prime}$ в (5.25) на единицу, но таких значений $m^{\prime}$ между двумя соседними главными максимумами оказывается $N$. Считая, что на каждый интервал $\delta m^{\prime}=1$ приходится одно и то же значение $\delta \vartheta$ (для оценки), приходим к выводу, что $\delta \vartheta$ в $N$ раз меньше, чем $\Delta \vartheta$. Итак, резкость главных максимумов пропорциональна числу штрихов решетки (более точный расчет приводит к тому же результату).

Таким образом, с помощью условий (5.21) и (5.25) мы можем установить не только положения главных максимумов, но и их угловую ширину (резкость). Остается решить вопрос об их интенсивности. Рассмотрим его сначала качественно.

Прослеживая с помощью рис. 5.27, как будет вести себя векторная диаграмма по мере увеличения угла дифракции 9, мы оставили без внимания тот факт, что при этом каждый вектор цепочки по модулю будет уменьшаться, ибо он определяется дифракцией от каждой щели. В соответствии же с рис. 5.23 результирующий вектор при закручивании цепочки будет сначала уменьшаться и в дальнейшем вести себя аналогично тому, как показано на рис. 5.24.

Следовательно, кроме интерференционных минимумов, необходимо иметь в виду и дифракционные минимумы, определяемые условием (5.16), т. е.
\[
b \sin \vartheta_{m}= \pm m \lambda, \quad m=1,2, \ldots,
\]

где $b$ – ширина каждой щели.
При этом условии все векторы цепочки обращаются в нуль, значит и результирующая интенсивность в этих направлениях всегда должна быть равна нулю. Даже в том случае, если этому направлению соответствует главный максимум $m$-го порядка.
Пример. Найдем отношение периода решетки к ширине щели, $d / b$, при котором пропадает главный максимум 3 -го порядка.
В этом направлении – под углом дифракции $\vartheta_{x}$ – должны выполняться два условия:
\[
d \sin \vartheta_{x}= \pm 3 \lambda, \quad b \sin \vartheta_{x}= \pm \lambda .
\]

Из отношения этих двух равенств находим: $d / b=3$. Это значит, что в пределах основного дифракционного максимума мы будем наблюдать два главных максимума. Третий попадет на дифракционный минимум и, значит, пропадет.
Интенсивность главных максимумов. Распределение интенсивности в дифракционно-интерференционной картине проще всего получить с помощью векторной диаграммы (см. рис. 5.27). Из этой диаграммы видно, что результирующую амплитуду $A$ при интерференции $N$ волн можно записать так:
\[
A=2 R \sin (N \gamma / 2),
\]

где $R$ – вспомогательный радиус дуги окружности, описанной вокруг данной цепочки векторов. Кроме того, амплитуда $A_{1}$ колебаний от каждой щели, как видно из этого же рисунка,
\[
A_{1}=2 R \sin (\gamma / 2) \text {. }
\]

Исключив $2 R$ из последних двух формул, получим:
\[
A=A_{1} \frac{\sin (N \gamma / 2)}{\sin (\gamma / 2)} .
\]

Учитывая, что $A_{1}$ определяется формулой (5.18) и интенсивность $I \sim A^{2}$, приходим к следующему (искомому) выражению:
\[
I=I_{0} \frac{\sin ^{2}(\delta / 2)}{(\delta / 2)^{2}} \cdot \frac{\sin ^{2}(N \gamma / 2)}{\sin ^{2}(\gamma / 2)},
\]

где, напомним,
\[
\delta=2 \pi b \sin \vartheta / \lambda, \gamma=2 \pi d \sin \vartheta / \lambda .
\]

Полученный результат (5.27) графически представлен на рис. 5.29 как зависимость интенсивности дифракционной картины от угла дифракции $\vartheta$, точнее от $\sin \vartheta$. Как видим, интерференция многих пучков привела к резкому перераспределению интенсивности света, обусловленному дифракцией от каждой щели.
Рис. 5.29
Первая дробь в выражении (5.27) представляет собой плавную функцию от $\sin 9$ (она показана пунктиром на рис. 5.29 и отражает дифракционое распределение интенсивности от каждой щели). Эта плавная функция модулирует многолучевую интерференционную картину от $N$ щелей, которую описывает вторая дробь в формуле (5.27).

Практически наиболее важными являются главные максимумы, попадающие в центральный дифракционный максимум от каждой щели – они являются наиболее интенсивными*.
* Заметим, что распределение $I(9)$, показанное на рис. 5.29, справедливо для простой щелевой решетки. Если же коэффициент прозрачности (или отражения) меняется в решетке, например, по синусоидальному закону, то возникают главные максимумы только нулевого и первого порядков: $m=0$ и $m= \pm 1$.