Закон Брюстера. Если угол падения естественного света на границу раздела двух прозрачных диэлектриков отличен от нуля, то отраженный и преломленный пучки оказываются частично-поляризованными. В отраженном свете преобладают колебания вектора $\mathbf{E}$, перпендикулярные к плоскости падения, а в преломленном свете – параллельные плоскости падения. Степень поляризации обеих волн (отраженной и преломленной) зависит от угла падения.

При некотором значении угла падения отраженный свет становится полностью поляризованным, и его плоскость поляризации (плоскость колебаний вектора Е) оказывается перпендикулярной к плоскости падения. Этот угол $\vartheta_{\text {вр }}$ удовлетворяет следующему условию:

Данное соотношение называют законом Брюстера, а угол $\vartheta_{\text {Бр }}$ – углом Брюстера или углом полной поляризации. Здесь $n_{2} / n_{1}$ – отношение показателей преломления второй среды и первой (рис. 6.4). Точками и черточками на отраженном и преломленном лучах этого рисунка показаны направления колебаний вектора Е.
Рис. 6.4

Можно убедиться (см. задачу 3.4), что при падении света под углом Брюстера отраженный и преломленный лучи взаимно ортогональны.

При падении естественного света под углом Брюстера на границу раздела двух прозрачных диэлектриков преломленная волна становится частично-поляризованной, причем степень поляризации ее оказывается максимальной. В связи с этим вопросом (углом Брюстера и степенью поляризации) рассмотрим два примера.
Пример 1. Естественный свет падает под углом Брюстера на поверхность воды. При этом $\rho$-часть падающего света отражается. Найдем степень поляризации $P$ преломленного света.
Пусть световой поток падающего света равен $\Phi_{0}$. Степень поляризации преломленного света, по определению
\[
P=\frac{\Phi_{\text {пол }}}{\Phi_{\text {пре. }}}=\frac{\rho \Phi_{0}}{\Phi_{0}-\rho \Phi_{0}}=\frac{\rho}{1-\rho},
\]

где $\Phi_{\text {прел }}$ – световой поток преломленного света.
Пример 2. Частично-поляризованный свет падает под углом Брюстера на поверхность прозрачного диэлектрика так, что $\rho$-часть света отражается, и преломленный свет оказывается естественным. Найдем степень поляризации падающего света.
Обозначим падающий частично-поляризованный световой поток через $\Phi_{0}$. Его степень поляризации можно представить следующим образом:
\[
P=\frac{\Phi_{\sharp}}{\Phi_{\text {чп }}}=\frac{\rho \Phi_{0}}{\Phi_{0}}=\rho,
\]

где $\Phi_{п}$ – поляризованная часть падающего светового потока, $\Phi_{\text {чп }}$ – световой поток падающего частично-поляризованного света.
Пример 3. Естественный свет падает под углом Брюстера на поверхность прозрачной плоскопараллельной пластинки. Покажем, что преломленный свет падает на заднюю поверхность пластинки тоже под углом Брюстера.
Воспользуемся тем, что при падении света под углом Брюстера угол между отраженным и преломленным лучами должен быть прямым. На рис. 6.5 угол $\vartheta_{1}=\vartheta_{\text {вр }}$, и легко видеть,

что если $\pi-\left(\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\right)=\pi / 2$, то при отражении и от нижней плоскости пластинки угол между лучами 2′ и 2\” будет тоже $\pi / 2$, т. е. луч 2′ будет также линейно-поляризованным. На рисунке точками отмечено, что вектор Е в обоих отраженных лучах колеблется перпендикулярно плоскости падения.
Рис. 6.5

О поляризации преломленного све-
та. Степень поляризации преломленной волны при угле падения, равном углу Брюстера, достигает максимального значения, однако эта волна остается лишь частично-поляризованной.

Так как коэффициент отражения света в данном случае значительно меньше единицы (около 0,15 для границы раздела воздух – стекло), можно использовать преломленный свет, повышая его степень поляризации путем ряда последовательных отражений и преломлений. Это осуществляют с помощью стопы, состоящей из нескольких одинаковых и параллельных друг другу пластинок, установленных под углом Брюстера к падающему свету. При достаточно большом числе пластинок проходящий через эту систему свет будет практически полностью линейно-поляризованным. И интенсивность прошедшего через такую стопу света (в отсутствие поглощения) будет равна половине интенсивности падающего на стопу естественного света.

Эта идея нашла высокозффективное использование в газовых лазерах, где торцы разрядной трубки представляют собой плоскопараллельные стеклянные пластинки, расположенные под углом Брюстера к оси трубки (рис. 6.6). Поэтому излучение, распространяющееся вдоль оси трубки между зеркалами и поляризованное в плоскости падения на пластинки, многократно проходит сквозь них практически беспрепятственно, не ис-
Рис. 6.6

пытывая отражения. В результате из лазера выходит луч, поляризованный в этой плоскости, что и показано на рисунке. Другая составляющая излучения, плоскость поляризации которой перпендикулярна плоскости падения, почти полностью удаляется из пучка благодаря отражениям.

O формулах Френеля. С помощью граничных условий для векторов $\mathbf{E}$ и $\mathbf{H}$ можно найти соотношения между амплитудами и фазами падающей, отраженной и преломленной волнами так называемые формулы Френеля. При необходимости с ними можно познакомиться во многих учебниках и справочниках.

Мы не будем выписывать эти формулы, поскольку для решения наших вопросов они нам не понадобятся. Важно отметить только, что с помощью этих формул можно показать, что при произвольном угле падения $\vartheta_{1}$ (и соответствующем ему углу преломления $\vartheta_{2}$ ) козффициенты отражения линейно-поляризованного света, плоскость поляризации которого перпендикулярна плоскости падения ( $\rho_{1}$ ) и параллельна ей ( $\rho_{\|}$), определяются следующими выражениями:
\[
\rho_{\perp}=\frac{I_{\perp}^{\prime}}{I_{\perp}}=\frac{\sin ^{2}\left(\vartheta_{1}-\vartheta_{2}\right)}{\sin ^{2}\left(\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\right)}, \quad \rho_{\|}=\frac{I_{\|}^{\prime}}{I_{\|}}=\frac{\operatorname{tg}^{2}\left(\vartheta_{1}-\vartheta_{2}\right)}{\operatorname{tg}^{2}\left(\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\right)} .
\]

Из зтих формул, кстати, видно, что при падении под углом Брюстера, когда $\vartheta_{1}+\vartheta_{2}=\pi / 2$, и значит, $\operatorname{tg}(\pi / 2) \rightarrow \infty$, коэффициент отражения $\rho_{\|}=0$, т. е. отраженный свет будет полностью линейно-поляризованным в плоскости, перпендикулярной плоскости падения.
Пример. На поверхность прозрачного диэлектрика с показателем преломления $n$ падает под углом Брюстера линейно-поляризованный свет, плоскость поляризации которого
a) перпендикулярна плоскости падения;
б) лежит в плоскости падения.
Найдем коэффициенты отражения света в обоих случаях.
Прежде всего представим себе, как будут выглядеть отраженный и преломленный лучи в этих случаях (рис. 6.7). В случае a) согласно (6.4) коэффициент отражения $\rho_{\perp}=\sin ^{2}\left(\vartheta_{1}-\vartheta_{2}\right)$, где $\vartheta_{1}$ – угол Брюстера, определяемый формулой $\operatorname{tg} \vartheta_{1}=n$, а угол $\vartheta_{2}$ связан с углом $\vartheta_{1}$ законом преломления: $\sin \vartheta_{1}=n \sin \vartheta_{2}$. Определив $\vartheta_{1}$ и $\vartheta_{2}$, мы найдем и $\rho_{1}$.

Pис. 6.7
В случае же б) при падении под углом Брюстера тангенс в знаменателе (6.4) обращается в $\infty$, поскольку $\vartheta_{1}+\vartheta_{1}=\pi / 2$. Это значит, что в данном случае $\rho_{\|}=0$, т. е. отраженный луч отсутствует (но это только при падении под углом Брюстера).