6.1. Закон Малюса. Линейно-поляризованный световой пучок падает на поляризатор, плоскость пропускания которого вращается вокруг оси пучка с угловой скоростью $\omega$. Найти световую энергию $W$, проходящую через поляризатор за один оборот, если поток энергии в падающем пучке равен $\Phi_{0}$.
Р е ш е н и е. Согласно закону Малюса $\Phi=\Phi_{0} \cos ^{2} \omega t$. Тогда энергию, проходящую через поляризатор за один оборот, т. е. за период $T=2 \pi / \omega$, определим следующим выражением:
\[
W=\int_{0}^{T} \Phi_{0} \cos ^{2} \omega t \mathrm{dt}=\frac{\Phi_{0}}{\omega} \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} \varphi \mathrm{d} \varphi .
\]

Здесь введено обозначение $\varphi=\omega t$. Имея в виду, что
\[
\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} \varphi \mathrm{d} \varphi=\left\langle\cos ^{2} \varphi\right\rangle \cdot 2 \pi=\pi,
\]

получим в результате $W=\pi \Phi_{0} / \omega$.
6.2. Степень поляризации. На пути частично-поляризованного света поместили поляризатор. При повороте плоскости пропускания поляризатора из положения, соответствующего максимуму пропускания, на угол $\varphi$ интенсивность прошедшего света уменьшилась в $\eta$ раз. Найти степень поляризации падающего света.
Р е ш е и е. Представим частично-поляризованный свет как сумму естественного и поляризованного (см. рис. 6.2). Тогда степень поляризации этого света
\[
P=\frac{I_{\mathrm{n}}}{I_{\mathrm{n}}+I_{\mathrm{e}}}=\frac{1}{1+I_{\mathrm{e}} / I_{\mathrm{n}}},
\]

где $I_{\text {е }}$ и $I_{\text {п }}$ – интенсивности естественной и поляризованной составляющих. Найдем отношение $I_{\mathrm{e}} / I_{\mathrm{n}}$. Согласно условию и закону Малюса
\[
\eta=\frac{I_{\mathrm{n}}+I_{\mathrm{e}} / 2}{I_{\mathrm{n}} \cos ^{2} \varphi+I_{\mathrm{e}} / 2} .
\]

Отсюда
\[
I_{\mathrm{e}} / I_{\mathrm{n}}=2\left(1-\eta \cos ^{2} \varphi\right) /(\eta-1) .
\]

После подстановки последнего выражения в (1) получим:
\[
P=\frac{\eta-1}{1+\eta\left(1-2 \cos ^{2} \varphi\right)}=\frac{\eta-1}{1-\eta \cos 2 \varphi} .
\]
6.3. Естественный свет падает под некоторым углом на поверхность прозрачного диэлектрика. При этом $\rho$-часть светового потока отражается, имея степень поляризации $P^{\prime}$. Найти степень поляризации преломленного света, $P^{\prime \prime}$.
Р е ш е н и. По определению,
\[
P^{\prime}=\frac{\Phi_{\text {MaKс }}^{\prime}-\Phi_{\text {мй }}^{\prime}}{\rho \Phi_{0}}=\frac{\Phi_{\perp}^{\prime}-\Phi_{\|}^{\prime}}{\rho \Phi_{0}},
\]

где $\Phi_{0}$ – падающий поток, $\Phi_{\perp}^{\prime}$ и $\Phi_{1 \mid}^{\prime}$ – световые потоки, плоскости поляризации которых перепендикулярна и параллельна плоскости падения, причем ясно, что $\Phi_{\perp}^{\prime}>\Phi_{\|}^{\prime}$ (рис. 6.29, где точками и черточками показаны преимущественные направления колебаний светового вектора E). Следует обратить внимание на то, что в случае отражения не играет роли, брать интенсивность или поток, поскольку площади поперечных сечений падающего и зеркально отраженного пучков одинаковы (в от-
Рис. 6.29 личие от преломленного пучка).

Запишем теперь выражение для степени поляризации преломленного пучка:
\[
P^{\prime \prime}=\frac{\Phi_{\|}^{\prime \prime}-\Phi_{1}^{\prime \prime}}{\Phi_{0}-\rho \Phi_{0}}=\frac{\left(\Phi_{0} / 2-\Phi_{\|}^{\prime}\right)-\left(\Phi_{0} / 2-\Phi_{1}^{\prime}\right)}{(1-\rho) \Phi_{0}}=\frac{\Phi_{\perp}^{\prime}-\Phi_{\|}^{\prime}}{(1-\rho) \Phi_{0}} .
\]

Решив совместно уравнения (1) и (2), получим:
\[
P^{\prime \prime}=\frac{\rho}{1-\rho} P^{\prime} \text {. }
\]
6.4. Коэффициент отражения. Определить с помощью формул (6.4) коэффициент отражения естественного света при нормальном падении на поверхность прозрачного диэлектрика с показателем преломления $n$.
Р е ш е и е. По определению, коэффициент отражения
\[
\rho=\frac{I_{\perp}^{\prime}+I_{\|}^{\prime}}{I_{\perp}+I_{\|}} .
\]

Теперь учтем, что $I_{\perp}+I_{\|}=I_{0}$ – интенсивность падающего света, причем $I_{\perp}=I_{\|}=I_{0} / 2$, так как падающий свет естественный. Поэтому формулу (1) можно записать так:
\[
\rho=\frac{I_{\perp}^{\prime}}{2 I_{\perp}}+\frac{I_{\|}^{\prime}}{2 I_{\|}} .
\]

Перепишем это соотношение с помощью формул (6.4) в следующем виде
\[
\rho=\frac{1}{2}\left(\rho_{\perp}+\rho_{i 1}\right)=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin ^{2}\left(\vartheta_{1}-\vartheta_{2}\right)}{\sin ^{2}\left(\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\right)}+\frac{\operatorname{tg}^{2}\left(\vartheta_{1}-\vartheta_{2}\right)}{\operatorname{tg}^{2}\left(\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\right)}\right] .
\]

При малых значениях 9 выражения в квадратных скобках упрощаются:
\[
\rho=\frac{1}{2}\left[\frac{\left(\vartheta_{1}-\vartheta_{2}\right)^{2}}{\left(\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\right)^{2}}+\frac{\left(\vartheta_{1}-\vartheta_{2}\right)^{2}}{\left(\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\right)^{2}}\right]=\left(\frac{\vartheta_{1}-\vartheta_{2}}{\vartheta_{1}+\vartheta_{2}}\right)^{2} .
\]

Остается учесть закон преломления: при малых $\vartheta$ имеем $\vartheta_{1}=n \vartheta_{2}$. Подстановка этого равенства в (3) приводит к окончательному результату:
\[
\rho=\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{2} \text {. }
\]

Этот результат полностью совпадает с формулой (3.12).
6.5. Найти с помощью соотношения (6.4) коэффициент отражения $\rho$ естественного света, падающего под углом Брюстера на прозрачный диэлектрик с показателем преломления $n$.
Р ешение и Пусть $\vartheta_{1}$ и $\vartheta_{2}$ – углы падения и преломления. Здесь $\vartheta_{1}=\vartheta_{\text {Бр }}$, значит $\vartheta_{1}+\vartheta_{2}=\pi / 2$ и в (6.4) отлично от нуля будет только $\rho_{\perp}$. Падающий свет естественный, это значит, что у него $I_{\perp}=I_{\|}$ и $I_{\perp}=I_{0} / 2$, где $I_{0}$ – интенсивность падающего света. Искомый коэффициент
\[
\rho=\frac{I_{\perp}^{\prime}}{I_{0}}=\frac{I_{\perp}^{\prime}}{2 I_{\perp}}=\frac{\rho_{\perp}}{2} .
\]

В нашем случае $\sin \left(\vartheta_{1}+\vartheta_{2}\right)=1$, поэтому
\[
\rho_{\perp}=\sin ^{2}\left(\vartheta_{1}-\vartheta_{2}\right) \text {. }
\]

Преобразуем (2) так, чтобы представить его через $\operatorname{tg} \vartheta_{1}$, который по условию равен $n$. Разность углов в скобках с учетом того, что $\vartheta_{1}+\vartheta_{2}=\pi / 2$, запишем так:
\[
\vartheta_{1}-\vartheta_{2}=\vartheta_{1}-\left(\pi / 2-\vartheta_{1}\right)=2 \vartheta_{1}-\pi / 2 .
\]

Тогда выражение (2) можно преобразовать следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\sin ^{2}\left(\vartheta_{1}-\vartheta_{2}\right) & =\sin ^{2}\left(2 \vartheta_{1}-\pi / 2\right)=\cos ^{2} 2 \vartheta_{1}=\left(\cos ^{2} \vartheta_{1}-\sin ^{2} \vartheta_{1}\right)^{2}= \\
& =\left(1-2 \sin ^{2} \vartheta_{2}\right)^{2}=\left(1-2 \frac{1}{1+\operatorname{tg}^{2} \vartheta_{1}}\right)^{2} .
\end{aligned}
\]

Заменив в (4) $\operatorname{tg} \vartheta_{1}$ через $n$, и учитывая (2), представим искомое $\rho$, т. е. (1), в окончательном виде:
\[
\rho=\frac{1}{2}\left(\frac{n^{2}-1}{n^{2}+1}\right)^{2} \text {. }
\]

Напомним, $\rho$ – это та доля падающего света, которая при отражении под углом Брюстера превращается в полностью плоскополяризованный свет.
6.6. Пластинка в четверть волны. Кварцевая пластинка, вырезанная параллельно оптической оси, имеет толщину $h=0,25$ мм и служит пластинкой в четверть волны для света с длиной волны $\lambda=$ $=0,53$ мкм. Для каких еще длин волн в области видимого спектра она будет также пластинкой $\lambda / 4$ ? Считать для простоты, что для всех длин волн видимого спектра $n_{e}-n_{o}=0,9 \cdot 10^{-2}$.
Р е шен и е. Для пластинки $\lambda / 4$ согласно (6.8) $h\left(n_{e}-n_{0}\right)=m \lambda / 4$, где $m$ – нечетные числа $(1,3,5, \ldots)$. Отсюда
\[
\lambda=\frac{4 h\left(n_{e}-n_{o}\right)}{m}=\frac{9}{m} \text { мкм. }
\]

После подстановки в это выражение (подбором) нечетных значений $m$, соответствующих длинам волн в видимом диапазоне спектра, получим:
\[
\begin{array}{llllll}
m= & 13 & 15 & 17 & 19 & 21 \\
\lambda, \text { мкм }= & 0,69 & 0,60 & 0,53 & 0,47 & 0,43
\end{array}
\]
6.7. Свет проходит через систему из двух скрещенных поляризаторов, между которыми расположена кварцевая пластинка. Ее оптическая ось составляет угол $45^{\circ}$ с плоскостями пропускания поляризаторов. При какой минимальной толщине пластинки свет с длиной волны $\lambda_{1}=643$ нм будет проходить сквозь эту систему с максимальной интенсивностью, а свет с $\lambda_{2}=564$ нм будет практически задержан, если для обеих длин волн $n_{e}-n_{o}=0,0090$ ?
Р еш ен и е. Согласно (6.9) $h=m \lambda / 2\left(n_{e}-n_{0}\right.$ ). Для максимума пропускания эта пластинка должна быть пластинкой $\lambda / 2$, т. е. $m_{1}$ должно быть нечетным, а для минимума – пластинкой в целую волну, т. е. $m_{2}$ должно быть четным. Из приведенной формулы следует, что $m_{1} \lambda_{1}=m_{2} \lambda_{2}$. Отсюда
\[
\frac{m_{2}}{m_{1}}=\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}=1,14 .
\]

Полученное значение 1,14 надо представить как отношение наименьших значений четного числа $m_{2}$ к нечетному $m_{1}$. Легко убедиться (например, подбором), что это будут 8 и 7 , т. е. $m_{2}=8$ и $m_{1}=7$. Возвращаясь к первой формуле, находим
\[
h_{\text {мин }}=\frac{m_{1} \lambda_{1}}{2\left(n_{e}-n_{0}\right)}=0,25 \mathrm{MM} \text {. }
\]
6.8. Естественное вращение плоскости поляризации. Естественный монохроматический свет падает на систему из двух скрещенных поляризаторов, между которыми находится кварцевая пластинка, вырезанная перпендикулярно оптической оси. Постоянная вращения пластинки для данной длины волны равна $\alpha$. При какой минимальной толщине пластинки вся система будет пропускать $\eta$-часть интенсивности света, падающего на нее?
Р еш ен и е. Обозначим плоскости пропускания поляризаторов через $P$ и $P^{\prime}$ (рис. 6.30). После первого поляризатора $P$ интенсивность света станет равной $I_{0} / 2$, где $I_{0}$ – интенсивность падающего света. Плоскость поляризации этого света пластинка повернет на угол $\varphi=\alpha h$, $h$ – толщина пластинки.
Через поляризатор $P^{\prime}$ пройдет (по Малюсу), как видно из рисунка, $\left(I_{0} / 2\right) \sin ^{2} \varphi$.
Рис. 6.30
Значит, мы имеем
\[
\eta=\frac{\left(I_{0} / 2\right) \sin ^{2} \varphi}{I_{0}}=\frac{1}{2} \sin ^{2} \varphi .
\]

Модуль проекции вектора $\mathbf{E}$ на плоскость пропускания поляризатора $P^{\prime}$, равный $|E \sin \varphi|$, может быть при многих значениях угла $\varphi$, а значит при многих значениях и $h$ – толщины пластинки. Нас интересует минимальная толщина, обеспечивающая указанное условие. Эта толщина должна соответствовать минимальному значению $\varphi_{\text {мин }}$, т. е. должно выполняться условие $\varphi_{\text {мин }}<\pi / 2$. Значит,
\[
\varphi_{\text {мин }}=\alpha h_{\text {мин }} .
\]

Подставив это значение $\varphi$ в (1), получим
\[
h_{\text {мин }}=\frac{1}{\alpha} \operatorname{acrsin} \sqrt{2 \eta} .
\]

В заключение, полезно убедиться в том, что если бы в условии задачи не было требования о нахождении минимальной толщины пластинки, то угол $\varphi$, удовлетворяющий пропусканию $\eta$-части света, был бы неоднозначным, а следовательно неоднозначной должна была бы быть и толщина пластинки. Не трудно проверить с помощью рис. 6.30 , что возможные значения $\varphi$ были бы следующие:
\[
\varphi=\left\{\begin{array}{l}
\varphi_{\text {мин }}+\pi m, \\
\pi(m+1)-\varphi_{\text {мнн }}, \quad \text { где } m=0,1,2, \ldots
\end{array}\right.
\]
6.9. Эффект Керра. Ячейку Керра поместили между двумя скрещенными поляризаторами так, что направление напряженности $\mathbf{E}$ электриченского поля образовало угол $45^{\circ}$ с плоскостями пропускания поляризаторов. Конденсатор имеет длину $l=10,0 \mathrm{cм}$ и заполнен нитробензолом. На систему падает свет с длиной волны $\lambda=0,50$ мкм. Имея в виду, что в этих условиях постоянная Керра $B=2,2 \cdot 10^{-10} \mathrm{~cm} / \mathrm{B}^{2}$, определить:
a) минимальную напряженность $E$ электрического поля в конденсаторе, при которой интенсивность света, прошедшего через эту систему, не будет зависеть от поворота заднего поляризатора;
б) число прерываний света ежесекундно, если на конденсатор подать синусоидальное напряжение с частотой $v=10$ МГц и амплитудным значением напряженности $E=50 \mathrm{kB} / \mathrm{cм}$.
Р ешение и Легко сообразить, что интенсивность прошедшего света не будет зависеть от поворота заднего поляризатора только в том случае, если свет поляризован по кругу, т. е. нитробензол ведет себя в этом случае как пластинка $\lambda / 4$. Это значит, что согласно (6.8) и (6.17)
\[
l \cdot B \lambda E^{2}=m \lambda / 4,
\]

где $m$ – нечетное, и по условию ( $E$ должно быть минимальным) $m=1$. Отсюда
\[
E_{\text {мин }}=\frac{1}{2 \sqrt{l B}}=10,6 \mathrm{kB} / \mathrm{cm} .
\]
б) Сначала найдем число прерываний за время, в течение которого $E$ возрастает (рис. 6.31). Из условия
\[
l B \lambda E_{m}^{2}=m_{\text {макс }} \lambda
\]

найдем $m_{\text {макс }}$. Справа в этой формуле записано целое число длин волн, поскольку поляризаторы скрещены, и в этом случае при целых значениях $m$ интенсивность $I_{\perp}^{\prime}=0$ согласно табРис. 6.31 лице (6.15). Из последнего равенства после подстановки числовых значений находим
\[
m_{\text {макс }}=[5,5]=5 .
\]

Квадратные скобки означают, что следует брать целое число от полученного значения. За период $T$ таких прерываний будет (см. рис. 6.31)
\[
N=4 m_{\text {макс }}+2=22,
\]

где двойка соответствует тому, что при $E=0$ система тоже не пропускает свет, а таких прерываний за период будет два.
Число прерываний за 1 с
\[
N=N_{1} v=2,2 \cdot 10^{8} \mathrm{c}^{-1} .
\]
6.10. Магнитное вращение. Некотрое вещество поместили в продольное магнитное поле соленоида, расположенного между двумя поляризаторами. Длина трубки с веществом $l=30$ см. Найти постоянную Верде, если при индукции магнитного поля $B=8,0$ м’Тл угол поворота плоскости поляризации $\varphi_{1}=+2^{\circ} 15^{\prime}$ для одного направления поля и $\varphi_{2}=-1^{\circ} 06^{\prime}$ для противоположного направления.
Р е ш ен и е. Изобразив по днум значениям $\varphi$ график зависимости $\varphi(B)$ – он должен быть линейным (рис. 6.32), обнаруживаем, что прямая не проходит через точку $O$. Это означает, что, кроме магнитного вращения, вещество обладает и естественным вращением. Последнее можно исключить, если соотношение (6.20) записать для углов $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$, а затем взять их разность:
\[
\varphi_{1}-\varphi_{2}=V l\left(B_{1}-B_{2}\right),
\]

где $B_{2}=-B_{1} \Rightarrow B$, поэтому $B_{1}-B_{2}=2 B$.
Pиc. 6.32 $B$ результате
\[
V=\frac{\varphi_{1}-\varphi_{2}}{2 l B}=\frac{2,25^{\circ}-\left(-1,1^{\circ}\right)}{2 \cdot 0,3 \cdot 8,0}=0,70 \text { угл. град } /(\text { м м мТл }) .
\]

Если использовать формулу $\varphi=V l H$, где $H$ – напряженность магнитного поля, то $V=0,042$ угл. мин/(см Э). Часто встречается именно такое наименование постоянной Верде.