Плотность энергин упругой волны. Прежде всего найдем выражение для плотности упругой (потенциальной) энергии растянутого (или сжатого) стержня. Приложим к торцу стержня, другой конец которого закреплен, растягивающую силу $F(x)$ и будем медленно увеличивать ее от 0 до значения $F_{0}$. Удлинение стержня при этом будет меняться от 0 до $x$. По закону Гука $F(x)=\chi x$, где $x$ — коэффициент упругости. Работа силы $F(x)$ в этом процессе
\[
A=\int_{0}^{x} F(x) \mathrm{d} x=x \int_{0}^{x} x \mathrm{~d} x=\frac{x x^{2}}{2} .
\]

Эта работа идет на увеличение упругой энергии $U$ стержня, значит
\[
U=\kappa x^{2} / 2 .
\]

Плотность же упругой энергии $w_{\text {п }}=U / S l$, где $S$ и $l$ — площадь поперечного сечения и длина стержня. Преобразуем выражение (1.39), учитывая, что $x x=F=\sigma S, \sigma=E \varepsilon$ и $\varepsilon=x / l$, тогда
\[
U=\frac{F x}{2}=\frac{\sigma S \cdot \varepsilon l}{2}=\frac{E \varepsilon^{2}}{2} S l .
\]

Отсюда видно, что плотность упругой энергии
\[
w_{\text {п }}=E \varepsilon^{2} / 2 .
\]

При прохождении продольной волны в стержне каждая единица объема его обладает как потенциальной энергией упругой деформации $w_{\text {п }}$, так и кинетической энергией $w_{\text {к }}$. Плотность полной энергии
\[
w=w_{\text {к }}+w_{\text {п }}=\rho \dot{\xi}^{2} / 2+E \varepsilon^{2} / 2 .
\]

Для тонкого стержня $E=\rho v^{2}$, согласно (1.26), и выражение (1.41) можно переписать так:
\[
w=\frac{\rho}{2}\left[\left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^{2}+v^{2}\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^{2}\right] .
\]

Как следует из волнового уравнения (1.19), оба слагаемых равны друг другу, т. е. плотности кинетической и упругой энергии одинаковы и изменяются синфазно. Поэтому мы имеем в результате
\[
w=\rho \dot{\xi}^{2} .
\]

В частности, для гармонической волны $\xi=a \cos (\omega t-k x)$
\[
w=\rho a^{2} \omega^{2} \sin ^{2}(\omega t-k x) .
\]

Соответствующее распределение $w(x)$ вдоль стержня в некоторый момент показано на рис. 1.6.
Рис. 1.6
Среднее значение плотности энергии за период (или за время значительно большее периода колебаний) равно
\[
\langle w\rangle=\rho a^{2} \omega^{2} / 2,
\]

поскольку среднее значение квадрата синуса равно $1 / 2$.
В заключение отметим, что полученные выражения справедливы и для упругих волн в жидкостях и газах.

Плотность потока энергии. Так как энергия перемещается в среде вместе с возмущением, вводят понятие потока энергии Ф. Это количество энергии, переносимое волной через определенную поверхность $S$ в единицу времени:
\[
\Phi=\mathrm{d} W / \mathrm{d} t,
\]

где $\mathrm{d} W$ — энергия, переносимая через данную поверхность за время $\mathrm{d} t$.

Поток энергии в разных точках поверхности $S$ может иметь различную интенсивность. Для характеристики этого обстоятельства вводят понятие плотности потока энергии. Это поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную к направлению переноса энергии:
\[
j=d \Phi / d S_{\perp},
\]

где $\mathrm{d} \Phi=\mathrm{d} W / \mathrm{d} t$, а $\mathrm{d} W$ — это энергия, заключенная внутри косого цилиндра (рис. 1.7) с основанием площадью $\mathrm{d} S$ и образующей длиной $v \mathrm{~d} t$, где $v$ — скорость переноса энергии (возмущения). Размеры этого цилиндра должны быть настолько малы, чтобы во всех его точках плотность энергии $w$ была бы одинаковой. Тогда $\mathrm{d} W=w \mathrm{~d} V, \mathrm{~d} V-$ объем
Рис. 1.7

данного цилиндра, и мы можем записать:
\[
\mathrm{d} W=w v \mathrm{~d} t \mathrm{~d} S \cos \alpha=w v \mathrm{~d} t \mathrm{~d} S_{1} .
\]

С учетом этого соотношения выражение (1.47) примет вид:
\[
j=w v .
\]

Для определения плотности потока и его направления вводят вектор Умова $\mathbf{j}$ :
\[
\mathbf{j}=w \mathbf{v}
\]

где $\mathbf{v}$ — вектор скорости, нормальный к волновой поверхности в данном месте. Для гармонической волны $\mathbf{v}=(\omega / k) \mathbf{n}$.

В случае монохроматической волны вектор $\mathbf{j}$, как и плотность энергии, изменяется со временем по закону квадрата синуса (1.44). Поэтому среднее по времени значение вектора Умова с учетом (1.45) можно записать как
\[
\langle\mathbf{j}\rangle=\frac{1}{2} \rho a^{2} \omega^{2} \mathbf{v} .
\]

Это выражение справедливо для волн любого вида — плоской, сферической, цилиндрической, затухающих и др.

Среднее по времени значение плотности потока энергии называют интенсивностью волны: $I=\langle j\rangle$.

Зная вектор Умова во всех точках интересующей нас поверхности $S$, можно найти поток энергии сквозь эту поверхность. Для этого разобъем мысленно поверхность $S$ на элементарные участки $d S$. Поток энергии через этот участок, согласно (1.47), есть
\[
\mathrm{d} \Phi=j \mathrm{~d} S_{\perp}=j \mathrm{~d} S \cos \alpha=\mathbf{j} \mathrm{d} \mathbf{S}=j_{n} \mathrm{~d} S,
\]

где $j_{n}$ — проекция вектора $\mathbf{j}$ на нормаль $\mathbf{n} \kappa$ элементу поверхности $\mathrm{d} S$ (см. рис. 1.7). Тогда полный поток энергии сквозь поверхность $S$
\[
\Phi=\int_{S} \mathrm{j} \mathrm{d} S=\int_{S} j_{n} \mathrm{~d} S,
\]

здесь $\mathrm{d} \mathbf{S}=\mathbf{n d} S$. Выражение (1.51) означает, что поток энергии равен потоку вектора ј сквозь эту поверхность $S$.
Пример. Убедимся, что амплитуда $a$ сферической волны действительно пропорциональна $1 / r$.
Для этого найдем среднее значение потока энергии сквозь волновую поверхность радиуса $r$. Поскольку во всех точках этой поверхности 〈j> одинаково, то определение среднего потока сводится просто к умножению 〈j> на площадь сферы:
\[
\langle\Phi\rangle=\langle j\rangle 4 \pi r^{2} \sim a_{r}^{2} r^{2} .
\]

Если энергия волны не поглощается средой, то $\langle\Phi\rangle$ не должно зависеть от $r$, а значит $a_{r}^{2} r^{2}=$ const. Отсюда и следует, что $a_{r} \sim 1 / r$.
Необходимо отметить, что полученное выражение (1.49) справедливо только для бегущей волны. Если же мы имеем дело с более сложным образованием — суперпозицией (наложением) нескольких продольных волн, выражению для вектора Умова (1.49) следует придать другой вид:
\[
\mathbf{j}=-\sigma \mathbf{u},
\]

где $\sigma$ — напряжение (или избыточное давление), $\mathbf{u}$ — скорость частиц среды (не скорость волны!). Это выражение справедливо для жидких и газообразных сред, для твердых же сред, строго говоря, — только в случае тонкого стержня или тонкой пластины.

Выражение (1.52) можно получить так. Пусть возмущение распространяется, например, в положительном направлении оси $X$. Тогда векторное равенство (1.49) в проекции на ось $X$ примет вид $j_{x}=w v$. Так как, согласно (1.43), $w=\rho \dot{\xi}^{2}$ и $v=\sqrt{E / \rho}$, то
\[
j_{x}=\frac{w}{v} v^{2}=\frac{1}{v} \rho\left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^{2} \frac{E}{\rho}=\left(\frac{1}{v} \frac{\partial \xi}{\partial t}\right) \frac{\partial \xi}{\partial t} E .
\]

Выражение в последних скобках, согласно (1.19), равно — $\partial / / \partial x$ (для волны, распространяющейся в положительном направлении оси $X$ ).
Значит
\[
j_{x}=-E \frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial \xi}{\partial t}=-\sigma u_{x},
\]

откуда и следует (1.52).
Отметим, что для волны, распространяющейся в положительном направлении оси $X$, в любой момент величины $\sigma$ и $u_{x}$ противоположны по знаку и значит все время $j_{x}>0$, как и должно быть в данном случае.